Convergence uniforme des itérées d'une fonction

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue vérifiant la condition suivante :

\forall x \in \mathbb{R}^*,   |f(x)| < |x|

On définit la suite de fonctions

(f_n)_{n \in \mathbb{N}}

par

f_0 = \text{Id}_{\mathbb{R}}

et la relation de récurrence :

\forall n \in \mathbb{N},   f_{n+1} = f \circ f_n

Montrer que $f(0) = 0$ et étudier la convergence simple de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $\mathbb{R}$ .
Soit $A > 0$ $A > 0$ . On souhaite démontrer que $(f_n)$ $(f_{n})$ converge uniformément vers 0 sur le segment $I = [-A, A]$ $I = [- A, A]$ .
1. Justifier que pour tout $x \in I$ , la suite $(|f_n(x)|)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante.
2. À l'aide d'un argument de compacité ou du théorème de Dini, établir la convergence uniforme de $(f_n)$ vers 0 sur $[-A, A]$ .
Le résultat reste-t-il vrai si l'on remplace $\mathbb{R}$ par $\mathbb{R}_+^*$ et que l'on considère la convergence uniforme sur tout compact de $\mathbb{R}_+^*$ pour une fonction $f$ vérifiant $f(x) < x$ ?

1.

Pour la convergence simple, fixer $x \in \mathbb{R}$ et étudier la suite numérique $u_n = |f_n(x)|$ . Montrer qu'elle est décroissante, minorée, et que sa limite $L$ vérifie $|f(L)| = |L|$ .

2.

Pour la convergence uniforme, on pourra utiliser le second théorème de Dini : si une suite de fonctions continues décroît vers une fonction continue sur un segment, alors la convergence est uniforme.

3.

Alternativement, pour une preuve directe, montrer que sur tout segment ne contenant pas 0, $|f(x)|$ est "suffisamment" plus petit que $|x|$ par compacité.

Idées clés

•

Suite récurrente associée à une fonction stable.

•

Point fixe d'une application continue.

•

Théorème de Dini pour la convergence uniforme des suites monotones.

•

Compacité et extremums d'une fonction continue.

Résolution.

Convergence simple. Par continuité de $f$ en 0, en passant à la limite dans l'inégalité $|f(x)| < |x|$ lorsque $x \to 0$ , on obtient $|f(0)| \leq 0$ , d'où : $\boxed{f(0) = 0}$ Soit $x \in \mathbb{R}$ . Posons $u_n = f_n(x)$ . On a $u_{n+1} = f(u_n)$ . Si $x = 0$ , alors $u_n = 0$ pour tout $n$ , donc la suite converge vers 0. Si $x \neq 0$ , supposons par l'absurde que tous les $u_n$ sont non nuls. Alors $|u_{n+1}| = |f(u_n)| < |u_n|$ . La suite $(|u_n|)$ est donc strictement décroissante et minorée par 0, elle converge vers une limite $L \geq 0$ . Par continuité de $|f|$ , on a $|f(L)| = L$ . D'après l'hypothèse, si $L \neq 0$ , on aurait $|f(L)| < L$ , ce qui est contradictoire. $\boxed{\forall x \in \mathbb{R}, f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$
Convergence uniforme sur $[-A, A]$ .
1. Soit $x \in I$ . On a $|f_n(x)| \leq |x| \leq A$ pour tout $n$ par récurrence immédiate (car $|f(y)| \leq |y|$ pour tout $y$ ). Comme vu précédemment, $|f_{n+1}(x)| = |f(f_n(x))| \leq |f_n(x)|$ . La suite de fonctions $g_n : x \mapsto |f_n(x)|$ est donc une suite de fonctions continues qui décroit vers la fonction nulle sur le segment $I = [-A, A]$ .
2. La fonction limite (la fonction nulle) est continue sur le segment $I$ . D'après le théorème de Dini, la convergence simple d'une suite monotone de fonctions continues vers une limite continue sur un compact implique la convergence uniforme. Ainsi, $g_n$ converge uniformément vers 0 sur $I$ . Comme $|f_n(x) - 0| = g_n(x)$ , on en déduit : $\boxed{f_n \xrightarrow[n \to +\infty]{u} 0 \text{ sur } [-A, A]}$
Cas de $\mathbb{R$ _+^* $R_{+}^{*}$ .} Soit $f : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}_+^*$ continue telle que $f(x) < x$ . Soit $K = [a, b]$ un compact de $\mathbb{R}_+^*$ , avec $0 < a < b$ . La fonction $h(x) = \frac{f(x)}{x}$ est continue sur le segment $[a, b]$ . Elle y atteint son maximum $k$ . Comme $\forall x \in [a, b], h(x) < 1$ , on a $k < 1$ . Cependant, cela ne garantit pas que $f_n(x)$ reste dans $[a, b]$ . En réalité, la suite converge toujours uniformément vers 0 sur tout compact si l'on peut prolonger $f$ par continuité en 0 avec $f(0)=0$ . Si $f(x) < x$ sur $\mathbb{R}_+^*$ , alors pour tout $x$ , $f_n(x)$ est décroissante et converge vers une limite $L \geq 0$ telle que $f(L)=L$ si $L>0$ . Comme il n'y a pas de point fixe dans $\mathbb{R}_+^*$ , la seule limite possible dans l'adhérence est 0. La preuve par le théorème de Dini reste la plus robuste car elle ne nécessite pas que $f$ soit une contraction stricte.

Confondre l'hypothèse de contractivité stricte locale avec une contraction globale k-lipschitzienne.

Le théorème de Dini est l'outil privilégié pour passer de la convergence simple à la convergence uniforme en présence de monotonie sur un compact.