Convergence uniforme et reste de Taylor

Soit $k \in \mathbb{N}$ et soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{k+1}$ . On suppose que les dérivées successives de $f$ s'annulent au point $1$ jusqu'à l'ordre $k$ :

\forall i \in \{0, \dots, k\},   f^{(i)}(1) = 0

Pour tout

n \in \mathbb{N}

, on définit la fonction

u_n

sur

[0,1]

par :

\forall x \in [0,1],   u_n(x) = n^k x^n f(x)

Démontrer que la suite de fonctions

(u_n)_{n \geq 0}

converge uniformément vers la fonction nulle sur

[0,1]

.

1.

Commencer par déterminer la limite simple de la suite $(u_n)$ .

2.

Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral au point $1$ pour obtenir une majoration de $|f(x)|$ par une puissance de $(1-x)$ .

3.

Étudier les variations de la fonction $x \mapsto x^n(1-x)^{k+1}$ pour borner la norme infinie de $u_n$ .

Idées clés

•

Formule de Taylor avec reste intégral.

•

Majoration globale d'une fonction $\mathcal{C}^{k+1}$ s'annulant en un point.

•

Étude de la fonction auxiliaire $x^n(1-x)^\alpha$ .

Étape 1 : Étude de la convergence simple.

Soit $x \in [0, 1[$ . On sait que par croissance comparée, $n^k x^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ . Ainsi, $u_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ .

Pour $x=1$ , l'hypothèse $f(1)=0$ impose $u_n(1) = n^k \cdot 1^n \cdot 0 = 0$ .

La suite $(u_n)$ converge donc simplement vers la fonction nulle sur $[0, 1]$ .

Étape 2 : Majoration de $f$ par la formule de Taylor.

Puisque $f$ est de classe $\mathcal{C}^{k+1}$ sur $[0,1]$ et que $f(1) = f'(1) = \dots = f^{(k)}(1) = 0$ , la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $k$ au point $1$ donne pour tout $x \in [0,1]$ :

f(x) = \int_1^x \frac{(x-t)^k}{k!} f^{(k+1)}(t)   dt

En effectuant le changement de variable $t = 1 + s(x-1)$ , ou plus simplement en majorant brutalement l'intégrale :

|f(x)| = \left| \int_x^1 \frac{(t-x)^k}{k!} f^{(k+1)}(t)   dt \right| \leq \int_x^1 \frac{(t-x)^k}{k!} |f^{(k+1)}(t)|   dt

Comme $f^{(k+1)}$ est continue sur le segment $[0,1]$ , elle y est bornée. Notons $M = \sup_{t \in [0,1]} |f^{(k+1)}(t)|$ . On a alors :

|f(x)| \leq \frac{M}{k!} \int_x^1 (t-x)^k   dt = \frac{M}{k!} \left[ \frac{(t-x)^{k+1}}{k+1} \right]_x^1

On obtient la majoration fondamentale suivante :

\forall x \in [0,1],   |f(x)| \leq \frac{M}{(k+1)!} (1-x)^{k+1}

Étape 3 : Convergence uniforme.

D'après la majoration précédente, pour tout $x \in [0,1]$ :

|u_n(x)| \leq \frac{M}{(k+1)!} n^k x^n (1-x)^{k+1}

Posons $g_n(x) = x^n (1-x)^{k+1}$ pour $x \in [0,1]$ . La fonction $g_n$ est dérivable et :

g_n'(x) = n x^{n-1} (1-x)^{k+1} - (k+1) x^n (1-x)^k = x^{n-1} (1-x)^k \left( n(1-x) - (k+1)x \right)

La dérivée s'annule sur $]0,1[$ en $x_n = \frac{n}{n+k+1}$ . Le maximum de $g_n$ sur $[0,1]$ est donc :

g_n(x_n) = \left( \frac{n}{n+k+1} \right)^n \left( 1 - \frac{n}{n+k+1} \right)^{k+1} = \left( 1 + \frac{k+1}{n} \right)^{-n} \left( \frac{k+1}{n+k+1} \right)^{k+1}

On analyse le comportement asymptotique de ce maximum :

\left( 1 + \frac{k+1}{n} \right)^{-n} = \exp\left( -n \ln\left( 1 + \frac{k+1}{n} \right) \right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} e^{-(k+1)}

Et d'autre part :

\left( \frac{k+1}{n+k+1} \right)^{k+1} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{(k+1)^{k+1}}{n^{k+1}}

On en déduit qu'il existe une constante $C > 0$ telle que pour $n$ assez grand :

\|g_n\|_\infty = g_n(x_n) \leq \frac{C}{n^{k+1}}

En revenant à $u_n$ , on obtient :

\|u_n\|_\infty \leq \frac{M}{(k+1)!} n^k \cdot \frac{C}{n^{k+1}} = \frac{MC}{(k+1)!} \frac{1}{n}

On conclut que :

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} \|u_n\|_\infty = 0 }

La suite $(u_n)$ converge donc uniformément vers 0 sur $[0,1]$ .

Utiliser Taylor-Young (local) au lieu d'une majoration globale.

Le maximum de $x^n(1-x)^k$ est en $O(n^{-k})$ .