Itération de fonctions croissantes et points fixes

Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ une fonction continue et croissante. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on note $f_n = f \circ f \circ \dots \circ f$ la $n$ -ième itérée de $f$ .

Justifier que pour tout $x \in [0,1]$ , la suite $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge vers un point fixe de $f$ .
On note $g$ la limite simple de la suite $(f_n)$ . Exprimer $g(x)$ à l'aide de l'ensemble $Fix(f) = \{s \in [0,1] \mid f(s) = s\}$ .
Déterminer les sous-ensembles de $[0,1]$ sur lesquels la convergence de $(f_n)$ vers $g$ est uniforme.

1.

Étudier la monotonie de la suite $(f_n(x))$ en comparant $f(x)$ et $x$ .

2.

Pour la limite, noter que $Fix(f)$ est un fermé non vide de $[0,1]$ . Distinguer les cas $f(x) \geqslant x$ et $f(x) \leqslant x$ .

3.

Utiliser le deuxième théorème de Dini ou étudier la continuité de la fonction limite $g$ .

Idées clés

•

Monotonie des itérées pour une fonction croissante.

•

Stabilité de l'ordre par passage à la limite.

•

Lien entre continuité de la limite et convergence uniforme (Théorème de Dini).

Résolution.

Soit $x \in [0,1]$ . Comparons $x$ et $f(x)$ . Si $f(x) \geqslant x$ , alors par croissance de $f$ , on a $f(f(x)) \geqslant f(x)$ , soit $f_2(x) \geqslant f_1(x)$ . Par une récurrence immédiate, on montre que $f_{n+1}(x) \geqslant f_n(x)$ . La suite $(f_n(x))$ est donc croissante. Comme elle est majorée par 1, elle converge vers une limite $g(x) \in [0,1]$ . Si $f(x) \leqslant x$ , on montre de même par croissance de $f$ que la suite $(f_n(x))$ est décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers une limite $g(x) \in [0,1]$ . Dans les deux cas, la continuité de $f$ permet de passer à la limite dans la relation $f_{n+1}(x) = f(f_n(x))$ , ce qui donne : $\boxed{g(x) = f(g(x))}$ Ainsi, $g(x)$ est un point fixe de $f$ .
L'ensemble $Fix(f)$ est le noyau de $x \mapsto f(x)-x$ . Par continuité, c'est un fermé de $[0,1]$ . De plus, $f(0) \geqslant 0$ et $f(1) \leqslant 1$ , donc par le théorème des valeurs intermédiaires, $Fix(f)$ est non vide. Soit $x \in [0,1]$ . Si $f(x) \geqslant x$ , $(f_n(x))$ croît vers $g(x) \in Fix(f)$ . Comme pour tout $n$ , $f_n(x) \leqslant g(x)$ , et que pour tout point fixe $s > x$ , $f_n(x)$ ne peut pas "dépasser" $s$ (par croissance de $f$ ), la limite $g(x)$ est le plus petit point fixe supérieur ou égal à $x$ . De même, si $f(x) \leqslant x$ , $g(x)$ est le plus grand point fixe inférieur ou égal à $x$ . En résumé : $\boxed{g(x) = \begin{cases} \inf \{s \in Fix(f) \mid s \geqslant x\} & \text{si } f(x) \geqslant x \sup \{s \in Fix(f) \mid s \leqslant x\} & \text{si } f(x) \leqslant x \end{cases}}$
La convergence est uniforme sur tout intervalle $I \subset [0,1]$ tel que la restriction de $g$ à $I$ soit continue. En effet, les fonctions $f_n$ sont continues et la convergence $(f_n(x))$ est monotone pour chaque $x$ (soit croissante, soit décroissante). Le second théorème de Dini (souvent appelé théorème de Dini pour les fonctions monotones) assure que sur un segment $[a,b]$ , la convergence simple d'une suite de fonctions continues vers une limite continue est uniforme si la suite est monotone. Si $g$ est discontinue en $x_0$ , la convergence ne peut être uniforme sur aucun voisinage de $x_0$ . Conclusion : La convergence est uniforme sur tout intervalle fermé où $g$ est continue.

Ne pas oublier que la limite g(x) dépend de la position de x par rapport aux différents points fixes.

Pour une fonction continue croissante, la suite des itérées converge toujours simplement vers un point fixe.