Vitesse de convergence des itérées sous-identiques

Soit $f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ une fonction continue telle que pour tout $x > 0$ , on a $0 < f(x) < x$ . On définit la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ par $f_1 = f$ et $f_{n+1} = f \circ f_n$ .

Montrer que $f(0) = 0$ et établir la convergence simple de la suite $(f_n)$ sur $\mathbb{R}_+$ .
Soit $a > 0$ . La convergence est-elle uniforme sur $[0, a]$ ?
La convergence est-elle nécessairement uniforme sur $[a, +\infty[$ ? On pourra considérer $f(x) = \frac{x}{2}$ ou $f(x) = \frac{x}{1+x}$ .

1.

Pour le point fixe, passer à la limite $x \to 0$ dans l'inégalité $0 \leqslant f(x) \leqslant x$ . Pour la convergence simple, montrer que $(f_n(x))$ est décroissante.

2.

Pour l'uniforme sur $[0,a]$ , on peut utiliser le théorème de Dini car $[0,a]$ est compact et la limite est nulle (continue).

3.

Pour le cas non borné, regarder si la norme infini de $f_n$ tend vers 0 pour $f(x)=x/2$ .

Idées clés

•

Point fixe unique et convergence monotone.

•

Propriétés de la convergence uniforme sur les compacts.

•

Comportement à l'infini et bornitude des fonctions.

Résolution.

Par hypothèse, pour tout $x > 0$ , $0 \leqslant f(x) \leqslant x$ . Par continuité de $f$ en 0, en passant à la limite $x \to 0^+$ , on obtient $0 \leqslant f(0) \leqslant 0$ , donc $\boxed{f(0) = 0}$ . Soit $x > 0$ . Puisque $f(x) > 0$ , par récurrence, $f_n(x) > 0$ pour tout $n$ . D'après l'inégalité $f(y) < y$ appliquée à $y = f_n(x)$ , on a $f_{n+1}(x) < f_n(x)$ . La suite $(f_n(x))_{n \geqslant 1}$ est donc strictement décroissante et minorée par 0. Elle converge vers une limite $l \geqslant 0$ . Par continuité de $f$ , $f(l) = l$ . Or, l'unique point fixe de $f$ est 0 (car si $l > 0$ , $f(l) < l$ ). Ainsi, $\boxed{f_n \xrightarrow{simple} 0}$ sur $\mathbb{R}_+$ .
Soit $a > 0$ $a > 0$ . La suite $(f_n)$ $(f_{n})$ est une suite de fonctions continues sur le segment $[0, a]$ $[0, a]$ .
- Pour chaque $x \in [0, a]$ , la suite $(f_n(x))$ décroit vers 0.
- La fonction limite (la fonction nulle) est continue sur $[0, a]$ .
D'après le premier théorème de Dini, la convergence est uniforme sur tout segment $[0, a]$ $[0, a]$ .
$\boxed{(f_n) \text{ converge uniformément vers } 0 \text{ sur } [0, a]}$
Considérons $f(x) = \frac{x}{2}$ . On vérifie bien que pour $x > 0$ , $0 < \frac{x}{2} < x$ . Ici, $f_n(x) = \frac{x}{2^n}$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on a : $\sup_{x \in [a, +\infty[} |f_n(x) - 0| = \sup_{x \geqslant a} \frac{x}{2^n} = +\infty$ La différence n'est même pas bornée, donc elle ne peut pas tendre vers 0. Plus généralement, si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , alors les $f_n$ ne sont pas bornées et la convergence ne peut être uniforme sur $[a, +\infty[$ .

Confondre convergence uniforme sur tout segment et convergence uniforme sur un intervalle non borné.

Le théorème de Dini permet de conclure à la convergence uniforme sur un compact pour une suite monotone de fonctions continues vers une limite continue.