Approximation polynomiale avec contraintes d'interpolation

Résolution.

1. D'après le théorème d'approximation de Weierstrass, comme $f$ est continue sur le segment $I$, il existe une suite de polynômes $(Q_k)_{k \in \mathbb{N}}$ telle que :
   $$\lim_{k \to +\infty} \|f - Q_k\|_{\infty, I} = 0$$
2. Pour chaque $k \in \mathbb{N}$, nous cherchons à modifier $Q_k$ pour qu'il coïncide avec $f$ aux points $x_1, \dots, x_n$. Considérons les polynômes de base de Lagrange associés aux points $\{x_1, \dots, x_n\}$, notés $L_1, \dots, L_n$ et définis par :
   $$\forall i, j \in \{1, \dots, n\},   L_i(x_j) = \delta_{i,j}$$
   Posons alors le polynôme correcteur suivant :
   $$R_k(x) = \sum_{j=1}^n \left( f(x_j) - Q_k(x_j) \right) L_j(x)$$
3. Définissons la suite $(P_k)$ par :
   $$\boxed{P_k = Q_k + R_k}$$
   Vérifions les deux conditions demandées : Points d'interpolation : Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on a :
   $$P_k(x_i) = Q_k(x_i) + \sum_{j=1}^n \left( f(x_j) - Q_k(x_j) \right) L_j(x_i)$$
   Par définition des $L_j$, la somme se réduit au terme $j=i$, d'où :
   $$P_k(x_i) = Q_k(x_i) + (f(x_i) - Q_k(x_i)) = f(x_i)$$
   Convergence uniforme : Estimons la norme infinie de la différence :
   $$\|f - P_k\|_{\infty} = \|f - (Q_k + R_k)\|_{\infty} \leq \|f - Q_k\|_{\infty} + \|R_k\|_{\infty}$$
   D'après l'expression de $R_k$, on a pour tout $x \in I$ :
   $$|R_k(x)| \leq \sum_{j=1}^n |f(x_j) - Q_k(x_j)| \cdot |L_j(x)|$$
   En majorant $|f(x_j) - Q_k(x_j)|$ par $\|f - Q_k\|_{\infty}$, on obtient :
   $$\|R_k\|_{\infty} \leq \|f - Q_k\|_{\infty} \left( \sum_{j=1}^n \|L_j\|_{\infty} \right)$$
   Comme la somme des normes des $L_j$ est une constante $C$ indépendante de $k$, on en déduit :
   $$\|f - P_k\|_{\infty} \leq \|f - Q_k\|_{\infty} (1 + C)$$
   Puisque $\|f - Q_k\|_{\infty} \to 0$, on conclut par encadrement :
   $$\boxed{\lim_{k \to +\infty} \|f - P_k\|_{\infty} = 0}$$