Approximation simultanée des dérivées par des polynômes

Résolution.

1. Soit $I = [a, b]$. La fonction $f^{(k)}$ est continue sur $I$. D'après le théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes $(Q_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que :
   $$\lim_{n \to +\infty} \|f^{(k)} - Q_n\|_{\infty, I} = 0$$
2. On définit pour chaque $n$ le polynôme $P_n$ comme l'unique primitive $k$-ième de $Q_n$ telle que les valeurs de $P_n$ et de ses $k-1$ premières dérivées coïncident avec celles de $f$ au point $a$. Formellement, on pose :
   $$\boxed{P_n(x) = \sum_{j=0}^{k-1} \frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j + \int_a^x \frac{(x-t)^{k-1}}{(k-1)!} Q_n(t) dt}$$
   Par construction, $P_n$ est un polynôme (car c'est une primitive d'un polynôme) et l'on a immédiatement :
   $$\forall j \in \{0, \dots, k-1\},   P_n^{(j)}(a) = f^{(j)}(a)   \text{et}   P_n^{(k)} = Q_n$$
3. Convergence de la dérivée d'ordre $k$ : Par choix de $Q_n$, on a directement :
   $$\boxed{\|f^{(k)} - P_n^{(k)}\|_{\infty} \to 0}$$
4. Convergence des dérivées d'ordre $j < k$ : On utilise la relation de primitivation. Pour tout $x \in I$ :
   $$f^{(k-1)}(x) - P_n^{(k-1)}(x) = \left( f^{(k-1)}(a) - P_n^{(k-1)}(a) \right) + \int_a^x (f^{(k)}(t) - P_n^{(k)}(t)) dt$$
   Comme $P_n^{(k-1)}(a) = f^{(k-1)}(a)$, il vient :
   $$|f^{(k-1)}(x) - P_n^{(k-1)}(x)| \leq \int_a^x |f^{(k)}(t) - Q_n(t)| dt \leq (b-a) \|f^{(k)} - Q_n\|_{\infty}$$
   Ceci étant vrai pour tout $x$, on a :
   $$\|f^{(k-1)} - P_n^{(k-1)}\|_{\infty} \leq (b-a) \|f^{(k)} - Q_n\|_{\infty} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
5. Par une récurrence immédiate (ou en utilisant la formule de Taylor-Laplace), on montre que pour tout $j \in \{0, \dots, k\}$ :
   $$\boxed{\|f^{(j)} - P_n^{(j)}\|_{\infty} \leq (b-a)^{k-j} \|f^{(k)} - Q_n\|_{\infty}}$$
   Ce qui prouve la convergence uniforme de toutes les dérivées jusqu'à l'ordre $k$.