Approximation par des polynômes à coefficients entiers

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x(1-x)$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on note $f_n = f \circ \dots \circ f$ la composée de $f$ avec elle-même $n$ fois, avec la convention $f_0 = \text{id}$ .

Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)_{n \geq 0}$ sur l'intervalle $[0, 1]$ . Démontrer que cette convergence est uniforme sur tout segment inclus dans $]0, 1[$ .
Soit $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ tel que $a < b$ . Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur le couple $(a, b)$ pour que toute fonction continue sur $[a, b]$ à valeurs réelles soit la limite uniforme sur $[a, b]$ d'une suite de polynômes appartenant à $\mathbb{Z}[X]$ .

1.

Pour la question 1, effectuer un changement de variable pour transformer la relation de récurrence $u_{n+1} = 2u_n(1-u_n)$ en une forme plus simple, par exemple en étudiant la suite $v_n = 2f_n - 1$ .

2.

Pour la question 2, remarquer que si $[a, b]$ contient un entier $k$ , alors pour tout $P \in \mathbb{Z}[X]$ , $P(k)$ est un entier.

3.

Pour la condition suffisante, utiliser le résultat de la question 1 pour montrer que l'on peut approcher uniformément n'importe quelle constante par des éléments de $\mathbb{Z}[X]$ sur l'intervalle considéré.

Idées clés

•

Dynamique d'une suite récurrente (points fixes, stabilité).

•

Lien entre convergence des coefficients et convergence uniforme.

•

Densité des dyadiques et théorème de Weierstrass.

Résolution.

Soit $x \in [0, 1]$ $x \in [0, 1]$ . On définit la suite $(u_n)$ $(u_{n})$ par $u_n = f_n(x)$ $u_{n} = f_{n} (x)$ . On a $u_{n+1} = 2u_n(1-u_n)$ $u_{n + 1} = 2 u_{n} (1 - u_{n})$ . Pour simplifier la relation, posons $v_n = 2u_n - 1$ $v_{n} = 2 u_{n} - 1$ . Alors :
$v_{n+1} = 2(2u_n - 2u_n^2) - 1 = 4u_n - 4u_n^2 - 1 = -(4u_n^2 - 4u_n + 1) = -(2u_n - 1)^2$
On obtient ainsi la relation de récurrence simple :
$v_{n+1} = -v_n^2$
Par récurrence immédiate pour $n \geq 1$ $n \geq 1$ :
$v_n = -(v_0)^{2^n} = -(2x - 1)^{2^n}$
Convergence simple :
- Si $x \in ]0, 1[$ , alors $|2x-1| < 1$ . Ainsi, $(2x-1)^{2^n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ . On en déduit $v_n \to 0$ , d'où $2f_n(x) - 1 \to 0$ , soit $\boxed{f_n(x) \to \frac{1}{2}}$ .
- Si $x = 0$ ou $x = 1$ , alors $2x-1 = \pm 1$ . Ainsi, $(2x-1)^{2} = 1$ , et $v_n = -1$ pour tout $n \geq 1$ . On en déduit $2f_n(x) - 1 = -1$ , soit $\boxed{f_n(x) \to 0}$ .
Convergence uniforme : Soit $[\delta, 1-\delta]$ $[δ, 1 - δ]$ un segment inclus dans $]0, 1[$ $] 0, 1 [$ avec $0 < \delta < 1/2$ $0 < δ < 1/2$ . Pour tout $x \in [\delta, 1-\delta]$ $x \in [δ, 1 - δ]$ , on a $|2x-1| \leq 1 - 2\delta = \rho < 1$ $∣2 x - 1∣ \leq 1 - 2 δ = ρ < 1$ . Alors $\|f_n - 1/2\|_\infty = \frac{1}{2} \|v_n\|_\infty = \frac{1}{2} \rho^{2^n}$ $∥ f_{n} - 1/2 ∥_{\infty} = \frac{1}{2} ∥ v_{n} ∥_{\infty} = \frac{1}{2} ρ^{2^{n}}$ . Comme $0 \leq \rho < 1$ $0 \leq ρ < 1$ , cette quantité tend vers $0$ $0$ quand $n \to +\infty$ $n \to + \infty$ .
$\boxed{\text{La convergence est uniforme sur tout segment de } ]0, 1[.}$
Condition nécessaire : Supposons que toute fonction continue sur $[a, b]$ soit limite uniforme de polynômes de $\mathbb{Z}[X]$ . Si l'intervalle $[a, b]$ contient un entier $k$ , alors pour toute suite $(P_n)$ de $\mathbb{Z}[X]$ , $P_n(k) \in \mathbb{Z}$ . Si $P_n \to f$ uniformément sur $[a, b]$ , alors $P_n(k) \to f(k)$ . La suite $(P_n(k))$ étant une suite d'entiers convergente, elle est stationnaire, donc $f(k)$ doit être un entier. Cela interdit d'approcher des fonctions continues prenant des valeurs non entières en $k$ (par exemple $f(x) = 1/2$ ). Ainsi, l'intervalle $[a, b]$ ne doit contenir aucun entier : $\boxed{[a, b] \cap \mathbb{Z} = \emptyset}$ . Cela implique en particulier que $b-a < 1$ . Condition suffisante : Supposons que $[a, b] \cap \mathbb{Z} = \emptyset$ . Alors il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $[a, b] \subset ]k, k+1[$ . Par translation par le polynôme $X-k \in \mathbb{Z}[X]$ , on peut se ramener au cas où $[a, b] \subset ]0, 1[$ . D'après la question 1, la fonction constante $g: x \mapsto 1/2$ est limite uniforme sur $[a, b]$ de $(f_n)$ , où $f_n \in \mathbb{Z}[X]$ . Par stabilité de l'ensemble des limites uniformes de $\mathbb{Z}[X]$ par somme et produit, toute constante de la forme $m/2^p$ (rationnel dyadique) est approchable. Les dyadiques étant denses dans $\mathbb{R}$ , toute constante réelle $c$ est limite uniforme de constantes dyadiques, donc appartient à l'adhérence de $\mathbb{Z}[X]$ . Dès lors, tout polynôme de $\mathbb{R}[X]$ est limite uniforme de polynômes de $\mathbb{Z}[X]$ sur $[a, b]$ (en approchant chaque coefficient). Par le théorème de Weierstrass, toute fonction continue sur $[a, b]$ est limite uniforme de polynômes de $\mathbb{R}[X]$ . Par transitivité, toute fonction continue est limite uniforme de polynômes de $\mathbb{Z}[X]$ . Conclusion : $\boxed{\text{La condition est : } [a, b] \cap \mathbb{Z} = \emptyset}$

Discontinuité de la limite simple aux bornes empêchant la convergence uniforme sur l'intervalle fermé.

La densité de Z[X] dans C([a,b], R) nécessite l'absence d'entiers dans l'intervalle.