Équirépartition et critère de Weyl

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ une suite d'éléments de $[0, 1]$ . Pour tout intervalle $I \subset [0, 1]$ , on note $N_n(I)$ le nombre d'entiers $k \in \{1, \dots, n\}$ tels que $u_k \in I$ . On dit que la suite $(u_n)$ est équirépartie sur $[0, 1]$ si pour tout segment $[a, b] \subset [0, 1]$ , on a :

\lim_{n \to +\infty} \frac{N_n([a, b])}{n} = b - a

Montrer que la suite $(u_n)$ est équirépartie si et seulement si pour toute fonction $f : [0, 1] \to \mathbb{C}$ continue par morceaux, on a : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(u_k) = \int_0^1 f(t) \mathrm{d}t$
Montrer que l'équirépartition est également équivalente à chacune des propriétés suivantes :
1. Pour toute fonction $f : [0, 1] \to \mathbb{C}$ continue telle que $f(0) = f(1)$ .
2. (Critère de Weyl) Pour tout $p \in \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e^{2i\pi p u_k} = 0$ .
3. (Critère des moments) Pour tout $p \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_k^p = \frac{1}{p+1}$ .
Soit $\theta \in \mathbb{R}$ . On considère la suite de terme général $u_n = \{n\theta\} = n\theta - \lfloor n\theta \rfloor$ . Montrer que $(u_n)$ est équirépartie sur $[0, 1]$ si et seulement si $\theta \notin \mathbb{Q}$ .

1.

Pour la question 1, commencer par les fonctions en escalier, puis approcher uniformément les fonctions continues par morceaux.

2.

Pour 2(b), utiliser le théorème de Weierstrass trigonométrique : toute fonction continue 1-périodique est limite uniforme de polynômes trigonométriques.

3.

Pour 2(c), utiliser le théorème de Weierstrass classique pour approcher une fonction continue par des polynômes.

4.

Pour la question 3, utiliser le critère de Weyl et calculer une somme géométrique.

Idées clés

•

Densité des fonctions en escalier et des polynômes (Weierstrass).

•

Approximation par des fonctions "trapèzes" pour traiter les discontinuités des indicatrices.

•

Sommes géométriques pour l'application aux suites arithmétiques modulo 1.

1. Équivalence entre équirépartition et convergence pour les fonctions continues par morceaux.

Supposons la suite équirépartie. Par définition, la propriété est vraie pour les fonctions $f = \mathbf{1}_{[a,b]}$ . Par linéarité de la somme et de l'intégrale, elle s'étend aux fonctions en escalier sur $[0, 1]$ .

Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur $[0, 1]$ . Pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe deux fonctions en escalier $\varphi_1$ et $\varphi_2$ telles que :

\varphi_1 \leq \text{Re}(f) \leq \varphi_2   \text{et}   \int_0^1 (\varphi_2 - \varphi_1) \leq \varepsilon

En appliquant la limite aux fonctions en escalier, on encadre la moyenne de la partie réelle de $f$ et on conclut par un argument classique d'approximation (on traite de même la partie imaginaire).

Réciproquement, si la propriété est vraie pour toute fonction continue par morceaux, elle est vraie pour $f = \mathbf{1}_{[a,b]}$ , ce qui donne exactement la définition de l'équirépartition.

\vspace{1em} 2. Équivalences avec d'autres classes de fonctions.

Fonctions continues $f(0)=f(1)$ : La condition est nécessaire car ces fonctions sont continues par morceaux. Pour la réciproque, on approche l'indicatrice d'un segment $[a,b]$ par des fonctions "trapèzes" continues $f_\varepsilon$ valant 1 sur $[a,b]$ , 0 hors de $[a-\varepsilon, b+\varepsilon]$ , et affines entre les deux. Si $0 < a < b < 1$ , ces fonctions vérifient $f_\varepsilon(0) = f_\varepsilon(1) = 0$ pour $\varepsilon$ assez petit.
Critère de Weyl : Notons $e_p(x) = e^{2i\pi p x}$ . Si $(u_n)$ est équirépartie, alors pour $p \in \mathbb{N}^*$ : $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e_p(u_k) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^1 e^{2i\pi p t} \mathrm{d}t = \left[ \frac{e^{2i\pi p t}}{2i\pi p} \right]_0^1 = 0$ Réciproquement, si la propriété est vraie pour les $e_p$ , elle l'est par linéarité pour tout polynôme trigonométrique $P = \sum c_k e_k$ . D'après le théorème de Weierstrass trigonométrique, toute fonction $f$ continue telle que $f(0)=f(1)$ est limite uniforme de polynômes trigonométriques. Soit $\varepsilon > 0$ et $P$ tel que $\|f - P\|_\infty \leq \varepsilon$ . On a alors : $\left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(u_k) - \int_0^1 f \right| \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n |f-P|(u_k) + \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n P(u_k) - \int_0^1 P \right| + \int_0^1 |P-f|$ Chaque terme est majoré par $\varepsilon$ pour $n$ assez grand. On retrouve la propriété (a).
Critère des moments : L'intégrale de $t \mapsto t^p$ sur $[0,1]$ est $\frac{1}{p+1}$ . La nécessité est immédiate. Pour la réciproque, par linéarité, la propriété est vraie pour tout polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ . D'après le théorème de Weierstrass, toute fonction $f \in \mathcal{C}^0([0, 1], \mathbb{C})$ est limite uniforme de polynômes. On conclut par le même argument d'approximation que précédemment.

\vspace{1em} 3. Application à la suite $\{n\theta\}$ .}

Cas $\theta \in \mathbb{Q$ $θ \in Q$ :} Posons $\theta = p/q$ avec $q \in \mathbb{N}^*$ . Alors $\{n\theta\}$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs (ses valeurs sont dans $\{0, 1/q, \dots, (q-1)/q\}$ ). La suite ne peut pas être équirépartie car on peut choisir un intervalle $[a,b]$ ne contenant aucune de ces valeurs, alors que $b-a > 0$ .

Cas $\theta \notin \mathbb{Q$ $θ \in / Q$ :} Utilisons le critère de Weyl. Soit $p \in \mathbb{N}^*$ . On a :

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e^{2i\pi p \{k\theta\}} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e^{2i\pi p k \theta}

C'est une somme géométrique de raison $q = e^{2i\pi p \theta}$ . Comme $p \in \mathbb{N}^*$ et $\theta \notin \mathbb{Q}$ , on a $p\theta \notin \mathbb{Z}$ , donc $q \neq 1$ .
\begin{align*} \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n q^k \right| &= \frac{1}{n} \left| q \frac{1 - q^n}{1 - q} \right|
&\leq \frac{1}{n} \frac{2}{|1 - e^{2i\pi p \theta}|} \end{align*}
Cette expression tend vers $0$ quand $n \to +\infty$ .
$\boxed{\forall p \in \mathbb{N}^*, \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e^{2i\pi p \{k\theta\}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$
D'après le critère de Weyl, la suite $(\{n\theta\})$ est équirépartie.

Vérifier la condition de périodicité pour l'approximation trigonométrique.

Le critère de Weyl : équirépartition équivaut à la nullité des moyennes des exponentielles complexes.