Lemme de Tate et fonctions presque additives

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On se propose de démontrer l'équivalence entre les deux assertions suivantes :

Il existe un réel $\lambda$ tel que la fonction $x \mapsto f(x) - \lambda x$ soit bornée sur $\mathbb{R}$ .
Il existe une constante $M \geq 0$ telle que : $\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, |f(x+y) - f(x) - f(y)| \leq M$

1.

Pour $(i) \implies (ii)$ , exprimer $f$ comme la somme d'une fonction linéaire et d'une fonction bornée.

2.

Pour $(ii) \implies (i)$ , étudier la suite de fonctions $u_n(x) = \frac{f(2^n x)}{2^n}$ .

3.

Montrer que $(u_n)$ converge uniformément en utilisant une série télescopique dont le terme général est $u_{n+1} - u_n$ .

4.

Vérifier que la limite $L$ est une fonction continue vérifiant l'équation de Cauchy $L(x+y) = L(x) + L(y)$ .

Idées clés

•

Lien suite-série pour construire la limite linéaire.

•

Équation fonctionnelle de Cauchy pour les fonctions continues.

•

Convergence uniforme sur $\mathbb{R}$ pour préserver la continuité.

Résolution.

Sens $(i) \implies (ii)$ . Supposons qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ et $B > 0$ tels que $|f(x) - \lambda x| \leq B$ pour tout $x$ . Posons $g(x) = f(x) - \lambda x$ . On a alors $f(x) = \lambda x + g(x)$ . Calculons l'écart à l'additivité :

f(x+y) - f(x) - f(y) = \lambda(x+y) + g(x+y) - (\lambda x + g(x)) - (\lambda y + g(y))

Après simplification :

f(x+y) - f(x) - f(y) = g(x+y) - g(x) - g(y)

Par inégalité triangulaire :

\boxed{|f(x+y) - f(x) - f(y)| \leq |g(x+y)| + |g(x)| + |g(y)| \leq 3B}

L'assertion

(ii)

est vérifiée avec

M = 3B

.

Sens $(ii) \implies (i)$ . Supposons $(ii)$ . Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , en prenant $y=x$ , on a $|f(2x) - 2f(x)| \leq M$ . Considérons la suite $u_n(x) = \frac{f(2^n x)}{2^n}$ . Analysons la différence :

u_{n+1}(x) - u_n(x) = \frac{f(2 \cdot 2^n x)}{2^{n+1}} - \frac{2f(2^n x)}{2^{n+1}} = \frac{f(2^{n+1} x) - 2f(2^n x)}{2^{n+1}}

D'après l'hypothèse $(ii)$ , on a :

|u_{n+1}(x) - u_n(x)| \leq \frac{M}{2^{n+1}}

Cette majoration est indépendante de $x$ . La série de fonctions $\sum (u_{n+1} - u_n)$ converge donc normalement (et donc uniformément) sur $\mathbb{R}$ . Par suite, la suite $(u_n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ vers une fonction $L$ . Comme chaque $u_n$ est continue, $\boxed{L \text{ est continue sur } \mathbb{R}}$ .

Vérifions l'additivité de $L$ . Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ :

|u_n(x+y) - u_n(x) - u_n(y)| = \frac{|f(2^n(x+y)) - f(2^n x) - f(2^n y)|}{2^n} \leq \frac{M}{2^n}

En passant à la limite quand $n \to +\infty$ :

\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,   L(x+y) = L(x) + L(y)

$L$ est une fonction continue et additive, donc il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\boxed{L(x) = \lambda x}$ .

Enfin, estimons la distance entre $f$ et $L$ . En utilisant la série télescopique :

L(x) - f(x) = L(x) - u_0(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (u_{n+1}(x) - u_n(x))

Ainsi :

|L(x) - f(x)| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{M}{2^{n+1}} = M

On a donc $\boxed{|f(x) - \lambda x| \leq M}$ , ce qui prouve $(i)$ .

L'additivité n'implique la linéarité que sous réserve de continuité ou de régularité locale.

Technique de dilatation pour extraire une structure linéaire.