Convergence de séries de fonctions rationnelles

Résolution de la question 1.

1. Convergence simple : Pour $x = 0$, $f_n(0) = 0$, la série converge. Pour $x > 0$, $f_n(x) \sim \frac{1}{n^2x}$ qui est le terme général d'une série de Riemann convergente.
   $$\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge simplement sur } \mathbb{R}^+.}$$

2. Convergence normale : La fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$. On calcule sa dérivée :
   $$f_n'(x) = \frac{1(1+n^2x^2) - x(2n^2x)}{(1+n^2x^2)^2} = \frac{1-n^2x^2}{(1+n^2x^2)^2}$$
   La dérivée s'annule en $x_n = \frac{1}{n}$. Le maximum de $f_n$ sur $\mathbb{R}^+$ est donc :
   $$\|f_n\|_{\infty, \mathbb{R}^+} = f_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1/n}{1+1} = \frac{1}{2n}$$
   Comme $\sum \frac{1}{2n}$ diverge, la série ne converge pas normalement sur tout intervalle contenant $0$.

   Sur $[a, +\infty[$ avec $a > 0$, pour $n$ assez grand tel que $\frac{1}{n} < a$, $f_n$ est décroissante. Ainsi, $\|f_n\|_{\infty, [a, +\infty[} = f_n(a) \sim \frac{1}{an^2}$, ce qui assure la convergence normale sur $[a, +\infty[$.

3. Convergence uniforme : Notons $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)$. Pour $x > 0$, par comparaison série-intégrale :
   $$S(x) \approx \int_0^{\infty} \frac{x}{1+t^2x^2} dt$$
   En posant le changement de variable $u = tx$, $du = x dt$, on obtient :
   $$\int_0^{\infty} \frac{1}{1+u^2} du = \frac{\pi}{2}$$
   Plus rigoureusement, $\lim_{x \to 0^+} S(x) = \frac{\pi}{2}$. Or $S(0) = 0$. La somme $S$ n'est pas continue en $0$.
   $$\boxed{\text{Il n'y a pas convergence uniforme sur tout intervalle incluant } 0.}$$

Résolution de la question 2.

1. Convergence simple : Si $x = 0$, $g_n(0) = 0$. Si $x > 0$, $g_n(x) \sim \frac{1}{n^{\alpha+1}x}$. La série converge simplement sur $\mathbb{R}^+$ car $\alpha + 1 > 1$.

2. Convergence normale : Étudions $g_n(x) = \frac{x}{n^{\alpha} + n^{\alpha+1}x^2}$. Sa dérivée est :
   $$g_n'(x) = \frac{n^\alpha - n^{\alpha+1}x^2}{(n^\alpha + n^{\alpha+1}x^2)^2}$$
   Le maximum est atteint en $x_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$.
   $$\|g_n\|_{\infty, \mathbb{R}^+} = g_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \frac{1/\sqrt{n}}{n^\alpha + n^{\alpha+1}(1/n)} = \frac{1}{2n^{\alpha+1/2}}$$
   La série $\sum \|g_n\|_{\infty}$ converge si et seulement si $\alpha + 1/2 > 1$.
   $$\boxed{\text{Convergence normale sur } \mathbb{R}^+ \iff \alpha > \frac{1}{2}}$$

3. Convergence uniforme : Si $\alpha > 1/2$, la convergence normale implique la convergence uniforme sur $\mathbb{R}^+$. Si $0 < \alpha \le 1/2$, étudions la limite de $S_\alpha(x) = \sum_{n=1}^\infty g_n(x)$ en $0^+$. Par comparaison avec une intégrale (pour $x$ proche de $0$) :
   $$S_\alpha(x) \sim \int_1^{\infty} \frac{x}{t^\alpha + t^{\alpha+1}x^2} dt$$
   Posons $u = x\sqrt{t}$, soit $t = u^2/x^2$ et $dt = \frac{2u}{x^2} du$.
   $$S_\alpha(x) \sim \int_x^{\infty} \frac{x}{(u/x)^{2\alpha}(1+u^2)} \frac{2u}{x^2} du = 2x^{2\alpha-1} \int_x^{\infty} \frac{u^{1-2\alpha}}{1+u^2} du$$
   Cas $\alpha = 1/2$ : $S_{1/2}(x) \sim 2 \int_x^\infty \frac{1}{1+u^2} du \to \pi$. Non continue en $0$. Cas $0 < \alpha < 1/2$ : $S_\alpha(x) \sim 2x^{2\alpha-1} \int_0^\infty \frac{u^{1-2\alpha}}{1+u^2} du \to +\infty$. Dans les deux cas, la convergence n'est pas uniforme sur $\mathbb{R}^+$ car la limite en $0$ ne coïncide pas avec $S_\alpha(0)=0$.
   $$\boxed{\text{Convergence uniforme sur } \mathbb{R}^+ \iff \alpha > \frac{1}{2}}$$