Étude d'une série rationnelle paramétrée

Résolution.

1. Soit $u_n(x) = \frac{1}{n+n^2x}$. Pour tout $a > 0$ et $x \geq a$, $|u_n(x)| \leq \frac{1}{an^2}$. La convergence normale assure la continuité. Par récurrence, $u_n^{(k)}(x) = \frac{(-1)^k k! (n^2)^k}{(n+n^2x)^{k+1}}$. Pour $x \geq a$, $|u_n^{(k)}(x)| \leq \frac{k! n^{2k}}{n^{2k+2}a^{k+1}} = \frac{k!}{a^{k+1} n^2}$. La convergence normale des séries dérivées sur $[a, +\infty[$ implique que $f$ est \boxed{\mathcal{C}^\infty \text{ sur } \mathbb{R}_+^*}.

2. Étudions $x f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n+n^2x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n/x + n^2}$. Soit $v_n(x) = \frac{1}{n/x + n^2}$. Pour tout $x > 0$, $|v_n(x)| \leq \frac{1}{n^2}$. Par convergence normale sur $]0, +\infty[$, on peut appliquer le théorème de la double limite :
   $$\lim_{x \to +\infty} x f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
   D'où \boxed{f(x) \sim \frac{\pi^2}{6x} \text{ en } +\infty}.

3. On utilise la comparaison série-intégrale. La fonction $\phi_x(t) = \frac{1}{t+t^2x}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$.
   $$\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t(1+tx)} \leq f(x) \leq u_1(x) + \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t(1+tx)}$$
   L'intégrale vaut :
   $$\int_1^{+\infty} \left( \frac{1}{t} - \frac{x}{1+tx} \right) dt = \left[ \ln\left( \frac{t}{1+tx} \right) \right]_1^{+\infty} = \ln(1/x) - \ln(1/(1+x)) = -\ln(x) + \ln(1+x)$$
   En $0^+$, on obtient \boxed{f(x) \sim -\ln x}.