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Régularité et équivalent d'une série d'Arctan

Arctannon-dérivabilitééquivalentsérie de fonctionsComparaison série-intégraleThéorème de dérivation

On considère la fonction ff définie par :

f(x)=∑n=1+∞arctan⁡(nx)n2f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\arctan(nx)}{n^2}

  1. Montrer que ff est définie et continue sur R\mathbb{R}.
  2. Établir que ff est de classe C1\mathcal{C}^1 sur ]0,+∞[]0, +\infty[.
  3. Déterminer la limite de ff en +∞+\infty.
  4. Montrer que ff n'est pas dérivable en 00 et donner un équivalent de f′(x)f'(x) en 0+0^+.
  5. En déduire un équivalent de f(x)f(x) au voisinage de 0+0^+.

1.

Pour la continuité, utiliser la convergence normale sur R\mathbb{R}.

2.

Pour la dérivabilité, montrer la convergence normale de la série des dérivées sur tout intervalle [a,+∞[[a, +\infty[ avec a>0a > 0.

3.

Pour l'équivalent de la dérivée, comparer la somme à une intégrale.

4.

Pour l'équivalent de ff, utiliser le théorème d'intégration des équivalents ou un argument de limite.

Idées clés

•

Convergence normale pour la continuité sur R\mathbb{R}.

•

Théorème de dérivation terme à terme sur les compacts de R+∗\mathbb{R}_+^*.

•

Comparaison série-intégrale pour obtenir un équivalent logarithmique.

Résolution.

  1. Soit un(x)=arctan⁡(nx)n2u_n(x) = \frac{\arctan(nx)}{n^2}. Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, on a ∣un(x)∣≤π2n2|u_n(x)| \leq \frac{\pi}{2n^2}. Comme la série de Riemann ∑1n2\sum \frac{1}{n^2} converge, la série de fonctions ∑un\sum u_n converge normalement sur R\mathbb{R}. Chaque fonction unu_n étant continue sur R\mathbb{R}, la somme ff est \boxed{\text{continue sur } \mathbb{R}}.

  2. Les fonctions unu_n sont de classe C1\mathcal{C}^1 sur R\mathbb{R} avec un′(x)=nn2(1+n2x2)=1n(1+n2x2)u_n'(x) = \frac{n}{n^2(1+n^2x^2)} = \frac{1}{n(1+n^2x^2)}. Soit a>0a > 0. Pour tout x∈[a,+∞[x \in [a, +\infty[, on a ∣un′(x)∣≤1n(1+n2a2)|u_n'(x)| \leq \frac{1}{n(1+n^2a^2)}. Le terme de droite est équivalent à 1a2n3\frac{1}{a^2 n^3}, terme général d'une série convergente. Ainsi, ∑un′\sum u_n' converge normalement sur [a,+∞[[a, +\infty[. Par théorème de dérivation des séries, ff est C1\mathcal{C}^1 sur tout [a,+∞[[a, +\infty[, donc sur \boxed{]0, +\infty[}.

  3. Pour x>0x > 0, arctan⁡(nx)n2→x→+∞π2n2\frac{\arctan(nx)}{n^2} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{\pi}{2n^2}. Par convergence normale sur R\mathbb{R}, on peut intervertir limite et somme :
    lim⁡x→+∞f(x)=∑n=1+∞π2n2=π312\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\pi}{2n^2} = \boxed{\frac{\pi^3}{12}}

  4. Fixons x>0x > 0. La fonction g:t↦1t(1+t2x2)g: t \mapsto \frac{1}{t(1+t^2x^2)} est décroissante sur [1,+∞[[1, +\infty[. Par comparaison série-intégrale :
    ∫1+∞dtt(1+t2x2)≤f′(x)=∑n=1+∞1n(1+n2x2)≤11+x2+∫1+∞dtt(1+t2x2)\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t(1+t^2x^2)} \leq f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(1+n^2x^2)} \leq \frac{1}{1+x^2} + \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t(1+t^2x^2)}
    Le calcul de l'intégrale via le changement de variable u=txu = tx donne :
    ∫1+∞dtt(1+t2x2)=∫x+∞duu(1+u2)=[ln⁡(u1+u2)]x+∞=−ln⁡(x)+ln⁡(1+x2)\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t(1+t^2x^2)} = \int_x^{+\infty} \frac{du}{u(1+u^2)} = \left[ \ln\left(\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\right) \right]_x^{+\infty} = -\ln(x) + \ln(\sqrt{1+x^2})
    En 0+0^+, on obtient donc \boxed{f'(x) \sim -\ln(x)}. Comme f′(x)→+∞f'(x) \to +\infty quand x→0+x \to 0^+, ff n'est pas dérivable en 0.

  5. Puisque f(0)=0f(0)=0 et f′(x)∼−ln⁡(x)f'(x) \sim -\ln(x), par intégration d'un équivalent (les fonctions étant positives et non intégrables en 0) :
    f(x)=∫0xf′(t)dt∼∫0x−ln⁡(t)dt=−xln⁡x+x∼−xln⁡xf(x) = \int_0^x f'(t) dt \sim \int_0^x -\ln(t) dt = \boxed{-x \ln x + x \sim -x \ln x}

Convergence normale locale vs globale

Équivalent logarithmique via intégration