Décomposition des fonctions presque additives

Soient $(E, \|\cdot\|_E)$ un espace vectoriel normé réel et $(F, \|\cdot\|_F)$ un espace de Banach. On considère une application continue $f : E \to F$ pour laquelle il existe une constante $M \ge 0$ telle que :

\forall (x, y) \in E^2,   \|f(x+y) - f(x) - f(y)\|_F \le M

Cas particulier : On suppose ici $M = 0$ . Démontrer que $f$ est une application linéaire.
Construction d'une limite : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ $n \in N$ , on définit la fonction $f_n : E \to F$ $f_{n} : E \to F$ par la relation $f_n(x) = \frac{1}{2^n} f(2^n x)$ $f_{n} (x) = \frac{1}{2 ^{n}} f (2^{n} x)$ .
1. Étudier la nature de la série de fonctions $\sum_{n \ge 0} (f_{n+1} - f_n)$ .
2. En déduire que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément sur $E$ vers une fonction $L : E \to F$ .
Propriétés de la limite :
1. Justifier que $L$ est continue sur $E$ .
2. Montrer que pour tous $x, y \in E$ , $L(x+y) = L(x) + L(y)$ .
3. En déduire que $L$ est une application linéaire continue.
Synthèse :
1. Établir que l'application $f - L$ est bornée sur $E$ .
2. Montrer que la décomposition $f = L + \varphi$ , où $L$ est linéaire continue et $\varphi$ est bornée, est unique.

1.

Pour la question 1, montrer d'abord par récurrence que $f(rx) = rf(x)$ pour tout rationnel $r$ , puis conclure par densité.

2.

Pour la question 2(a), utiliser l'inégalité de l'énoncé avec $y=x$ pour majorer $\|f(2x)-2f(x)\|$ .

3.

Pour la question 3(b), partir de l'inégalité initiale appliquée à $2^n x$ et $2^n y$ , puis diviser par $2^n$ avant de passer à la limite.

4.

Pour l'unicité en 4(b), on pourra remarquer que si une application linéaire est bornée sur un espace vectoriel, elle est nécessairement nulle.

Idées clés

•

Convergence normale d'une série télescopique pour construire la limite.

•

Conservation de la continuité par convergence uniforme.

•

Propriétés des applications additives et continues (caractérisation de la linéarité).

Résolution.

Supposons $M=0$ . Alors $f(x+y) = f(x) + f(y)$ pour tout $x,y \in E$ . On montre classiquement par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}, f(nx) = nf(x)$ , puis que $f(rx) = rf(x)$ pour tout $r \in \mathbb{Q}$ . Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ . Par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ , il existe une suite $(r_k)$ de rationnels convergeant vers $\lambda$ . Par continuité de $f$ : $f(\lambda x) = f(\lim_{k \to \infty} r_k x) = \lim_{k \to \infty} f(r_k x) = \lim_{k \to \infty} r_k f(x) = \lambda f(x)$ $\boxed{f \text{ est donc une application linéaire.}}$
1. Pour tout $x \in E$ , on a $\|f(2x) - 2f(x)\|_F \le M$ d'après l'énoncé (cas $y=x$ ). Exprimons le terme général de la série : $f_{n+1}(x) - f_n(x) = \frac{1}{2^{n+1}} f(2^{n+1} x) - \frac{1}{2^n} f(2^n x) = \frac{1}{2^{n+1}} \left( f(2 \cdot 2^n x) - 2f(2^n x) \right)$ En utilisant l'inégalité précédente appliquée au point $2^n x$ : $\|f_{n+1}(x) - f_n(x)\|_F \le \frac{1}{2^{n+1}} M$ Cette majoration est indépendante de $x$ . La série de fonctions $\sum (f_{n+1} - f_n)$ converge donc normalement (et donc uniformément) sur $E$ car $\sum \frac{M}{2^{n+1}}$ est une série géométrique convergente.
2. La suite $(f_n)$ est la suite des sommes partielles de la série télescopique $f_0 + \sum_{k=0}^{n-1} (f_{k+1} - f_k)$ . Puisque la série converge uniformément sur $E$ et que $F$ est un espace de Banach, la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $E$ vers une fonction $L$ définie par : $\boxed{L(x) = f(x) + \sum_{n=0}^{\infty} (f_{n+1}(x) - f_n(x))}$
1. Chaque $f_n$ est continue par composition de $f$ (continue) et d'une homothétie. Comme la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $L$ sur $E$ , d'après le théorème de continuité des limites uniformes, $L$ est continue sur $E$ .
2. Par hypothèse, $\|f(2^n x + 2^n y) - f(2^n x) - f(2^n y)\|_F \le M$ . En multipliant par $2^{-n}$ : $\|f_n(x+y) - f_n(x) - f_n(y)\|_F \le \frac{M}{2^n}$ En passant à la limite quand $n \to \infty$ , le terme de droite tend vers $0$ . On obtient : $\boxed{\forall (x,y) \in E^2, L(x+y) = L(x) + L(y)}$
3. $L$ est une application additive et continue de $E$ dans $F$ . Par le même raisonnement qu'à la question 1, l'additivité et la continuité de $L$ sur un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel impliquent sa linéarité. De plus, toute application linéaire continue entre deux espaces vectoriels normés est continue. Ici, la continuité de $L$ est déjà acquise par la convergence uniforme.
1. Notons $\varphi = f - L$ . D'après la relation entre suite et série télescopique : $L - f_0 = \sum_{n=0}^{\infty} (f_{n+1} - f_n)$ Comme $f_0 = f$ , on a $\varphi = f - L = -\sum_{n=0}^{\infty} (f_{n+1} - f_n)$ . Par l'inégalité triangulaire sur la somme de la série : $\|\varphi(x)\|_F \le \sum_{n=0}^{\infty} \|f_{n+1}(x) - f_n(x)\|_F \le \sum_{n=0}^{\infty} \frac{M}{2^{n+1}} = M$ L'application $\varphi$ est donc bornée par $M$ sur $E$ .
2. Unicité : Supposons $f = L_1 + \varphi_1 = L_2 + \varphi_2$ avec $L_i$ linéaires continues et $\varphi_i$ bornées. Alors $L_1 - L_2 = \varphi_2 - \varphi_1$ . L'application $L_1 - L_2$ est linéaire, et elle est bornée car $\varphi_1$ et $\varphi_2$ le sont. Soit $x \in E$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\|(L_1 - L_2)(x)\|_F = \frac{1}{n} \|(L_1 - L_2)(nx)\|_F \le \frac{1}{n} \sup_{y \in E} \|\varphi_2(y) - \varphi_1(y)\|_F$ En faisant tendre $n$ vers $+\infty$ , on en déduit que $\|(L_1 - L_2)(x)\|_F = 0$ , donc $L_1 = L_2$ . Par suite, $\varphi_1 = \varphi_2$ .

Oublier que l'additivité seule n'implique la linéarité que si l'on dispose d'une propriété de régularité (continuité, bornitude locale).

Toute fonction continue 'presque linéaire' est somme d'une fonction linéaire et d'une fonction bornée.