Séries alternées et prolongement analytique

Résolution.

1. Pour $x$ fixé, $\frac{1}{n+x}$ décroit vers 0 dès que $n > -x$. Par CSSA, la série converge. \boxed{D = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}_-^*}. Sur $]-1, +\infty[$, elle est bien définie.

2. $u_n^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{n+k} k!}{(x+n)^{k+1}}$. Pour $k \geq 1$ et $x > a > -1$, $|u_n^{(k)}(x)| \leq \frac{k!}{(n+a)^{k+1}}$. C'est le terme d'une série de Riemann convergente ($k+1 \geq 2$). Par convergence normale des séries dérivées, $f$ est \boxed{\mathcal{C}^\infty}.

3. Pour $|x| < 1$ : $\frac{(-1)^n}{n+x} = \frac{(-1)^n}{n} \frac{1}{1+x/n} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+k}}{n^{k+1}} x^k$. L'interversion est licite car $\sum_n \sum_k |a_{n,k} x^k|$ converge pour $|x|<1$.
   $$f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+k}}{n^{k+1}} \right) x^k$$
   Le rayon de convergence est \boxed{R=1} (à cause de la singularité en $-1$).

4. On a $f(x) + f(x+1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n+x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n+x+1} = \frac{-1}{1+x} + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n+x} - \sum_{m=2}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{m+x} = -\frac{1}{1+x}$. Comme $f(x) \sim f(x+1)$ car $f'(x) \to 0$, on a $2f(x) \sim -\frac{1}{x}$. D'où \boxed{f(x) \sim -\frac{1}{2x}}.

5. $f(x) = \frac{-1}{x+1} + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n+x}$. La série reste converge uniformément près de $-1$. La somme est donc $f(x) = \frac{-1}{x+1} + g(x)$ avec $g$ continue en $-1$. L'intégrale de $\frac{1}{x+1}$ diverge en $-1$, donc $f$ \boxed{\text{n'est pas intégrable sur } ]-1, 0[}.