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Régularité à la borne et séries exponentielles

exponentielletangente verticaleconvergence normaleTaux d'accroissementSéries de Riemann

Soit f(x)=∑n=1+∞e−xnnnf(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-x\sqrt{n}}}{n\sqrt{n}} définie sur R+\mathbb{R}_+.

  1. Montrer que ff est continue sur [0,+∞[[0, +\infty[.
  2. Étudier la dérivabilité de ff en 00.
  3. Établir que ff est de classe C1\mathcal{C}^1 sur ]0,+∞[]0, +\infty[.

1.

Convergence normale sur [0,+∞[[0, +\infty[ pour la continuité.

2.

Pour la dérivabilité en 0, étudier la limite du taux d'accroissement en le minorant par des sommes partielles.

Idées clés

•

Convergence normale sur le domaine fermé.

•

Divergence de la série des dérivées en 00   ⟹  \implies tangente verticale.

Résolution.

  1. Pour x≥0x \geq 0, ∣un(x)∣≤1n3/2|u_n(x)| \leq \frac{1}{n^{3/2}}. La série converge normalement sur [0,+∞[[0, +\infty[. Les fonctions unu_n sont continues en 0, donc ff est \boxed{\text{continue sur } [0, +\infty[}.

  2. Soit τ(x)=f(x)−f(0)x=∑n=1+∞e−xn−1xnn\tau(x) = \frac{f(x)-f(0)}{x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-x\sqrt{n}}-1}{xn\sqrt{n}}. Tous les termes sont négatifs. Pour tout N∈N∗N \in \mathbb{N}^* :
    τ(x)≤∑n=1Ne−xn−1xnn\tau(x) \leq \sum_{n=1}^N \frac{e^{-x\sqrt{n}}-1}{xn\sqrt{n}}
    En faisant tendre x→0+x \to 0^+ à NN fixé : e−xn−1x→−n\frac{e^{-x\sqrt{n}}-1}{x} \to -\sqrt{n}. Ainsi lim inf⁡x→0+τ(x)≤−∑n=1Nnnn=−∑n=1N1n=−HN\liminf_{x \to 0^+} \tau(x) \leq -\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{n}}{n\sqrt{n}} = -\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} = -H_N. Comme HN→+∞H_N \to +\infty, τ(x)→−∞\tau(x) \to -\infty. ff \boxed{\text{n'est pas dérivable en 0}}.

  3. un′(x)=−e−xnnu_n'(x) = -\frac{e^{-x\sqrt{n}}}{n}. Sur [a,+∞[[a, +\infty[ avec a>0a > 0, ∣un′(x)∣≤e−ann|u_n'(x)| \leq \frac{e^{-a\sqrt{n}}}{n}. La série ∑e−ann\sum \frac{e^{-a\sqrt{n}}}{n} converge (négligeable devant toute série de Riemann). Par convergence normale locale de la série des dérivées, ff est \boxed{\mathcal{C}^1 \text{ sur } ]0, +\infty[}.

Inversion limite et dérivée en 0

Divergence de la série des dérivées => non-dérivabilité