Somme bimodale et comparaison série-intégrale

Résolution.

1. $u_n(x) = \frac{nx}{(x+n^2)^2}$. $u_n(0)=0$. $u_n'(x) = \frac{n(x+n^2)^2 - 2n x(x+n^2)}{(x+n^2)^4} = \frac{n(n^2-x)}{(x+n^2)^3}$. Pour $x \in [0, A]$, $|u_n'(x)| \leq \frac{n(n^2+A)}{n^6} \sim \frac{1}{n^3}$. Convergence normale de $\sum u_n'$ sur $[0, A]$, donc $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $[0, A]$ pour tout $A$.

2. $f(0)=0$ et $f'(0) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n \cdot n^2}{n^6} = \sum \frac{1}{n^3} = \zeta(3)$. Donc \boxed{f(x) \sim \zeta(3)x \text{ en } 0}.

3. On approche la somme par l'intégrale $I(x) = \int_0^{+\infty} \frac{tx}{(x+t^2)^2} dt$. Posons $t = \sqrt{x} u$, $dt = \sqrt{x} du$ :
   $$I(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{x}u \cdot x}{(x+xu^2)^2} \sqrt{x} du = \int_0^{+\infty} \frac{u}{(1+u^2)^2} du$$
   L'intégrale vaut $\left[ -\frac{1}{2(1+u^2)} \right]_0^{+\infty} = \frac{1}{2}$. L'écart entre la somme et l'intégrale est en $O(1/x)$ (méthode de la fonction bimodale). D'où \boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1}{2}}.