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Logarithme et représentation intégrale

Logarithmeintégralesérie alternéeIntégration terme à terme

Soit f(x)=∑n=1+∞(−1)nln⁡(1+xn)f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right).

  1. Déterminer le domaine de définition de ff.
  2. Montrer que ff est C1\mathcal{C}^1 sur ]−1,+∞[]-1, +\infty[.
  3. Montrer que f′(x)=−∫01tx1+tdtf'(x) = -\int_0^1 \frac{t^x}{1+t} dt.

Idées clés

•

CSSA pour la définition.

•

Théorème d'intégration terme à terme pour la représentation intégrale.

Résolution.

  1. Pour x>−1x > -1, ln⁡(1+x/n)\ln(1+x/n) décroit vers 0. Par CSSA, ff est définie sur \boxed{]-1, +\infty[}.
  2. un′(x)=(−1)nn+xu_n'(x) = \frac{(-1)^n}{n+x}. Par CSSA, ∑un′\sum u_n' converge uniformément sur tout [a,+∞[[a, +\infty[.
  3. f′(x)=∑n=1∞(−1)nn+xf'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n+x}. Or 1n+x=∫01tn+x−1dt\frac{1}{n+x} = \int_0^1 t^{n+x-1} dt. f′(x)=∑n=1∞(−1)n∫01tn+x−1dtf'(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \int_0^1 t^{n+x-1} dt. Par convergence dominée (la somme partielle est bornée par 2tx1+t\frac{2t^x}{1+t}), on peut permuter :
    f′(x)=∫01∑n=1∞(−1)ntn+x−1dt=∫01tx(∑n=1∞(−t)n−1)(−1)dt=−∫01tx1+tdtf'(x) = \int_0^1 \sum_{n=1}^\infty (-1)^n t^{n+x-1} dt = \int_0^1 t^x \left( \sum_{n=1}^\infty (-t)^{n-1} \right) (-1) dt = \boxed{-\int_0^1 \frac{t^x}{1+t} dt}

Convergence dominée sur ]0,1[

Représentation intégrale des sommes