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Propriétés de la fonction Zêta de Riemann

ZêtaRiemannéquivalentComparaison série-intégrale

Soit ζ(x)=∑n=1+∞1nx\zeta(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^x}.

  1. Domaine de définition et classe de régularité.
  2. Donner un équivalent en 1+1^+.
  3. Établir ζ(x)−1∼12x\zeta(x) - 1 \sim \frac{1}{2^x} quand x→+∞x \to +\infty.

Résolution. 1. \boxed{D = ]1, +\infty[}, ζ\zeta est C∞\mathcal{C}^\infty par convergence normale des séries dérivées sur [a,+∞[[a, +\infty[. 2. Par comparaison intégrale : ζ(x)∼∫1∞t−xdt=1x−1\zeta(x) \sim \int_1^\infty t^{-x} dt = \frac{1}{x-1}. 3. ζ(x)−1=12x+13x+⋯=12x(1+(23)x+… )\zeta(x) - 1 = \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \dots = \frac{1}{2^x} (1 + (\frac{2}{3})^x + \dots). Le reste est O((23)x)O((\frac{2}{3})^x), donc \boxed{\zeta(x)-1 \sim 2^{-x}}.

Comportement en 1 vs infini

Zêta(x)-1 ~ 2^-x