Série des accroissements de l'Arctan

Résolution. $u_n'(x) = \frac{1}{1+(n+x)^2} \sim \frac{1}{n^2}$. Convergence normale de $\sum u_n'$ sur $\mathbb{R}$. En $+\infty$, $u_n(x) \sim \int_n^{n+x} \frac{dt}{1+t^2}$. $f(x) \sim \int_0^{+\infty} (\arctan(t+x)-\arctan t) dt$. On montre que \boxed{f(x) \sim \frac{\pi}{2} x} (ou par limite de $f'(x) \to \pi/2$). En réalité, $f'(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1+(n+x)^2} \xrightarrow[x \to \infty]{} \int_0^\infty \frac{dt}{1+t^2} = \pi/2$ est faux car le $x$ est dans le terme. Correction : $f'(x) \to 0$ en réalité. Étudier $\lim f$.