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Convergence uniforme des séries de Dirichlet

DirichletAbelSecteurStolzTransformation d'AbelCritère de Cauchy

Soit (an)n∈N(a_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de complexes et (λn)n∈N(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de réels strictement croissante tendant vers +∞+\infty. On s'intéresse à la série de fonctions ∑ane−λnz\sum a_n e^{-\lambda_n z}.

  1. Soient 0<α<β0 < \alpha < \beta deux réels. Soit z=x+iyz = x+iy un complexe de partie réelle x>0x > 0. Démontrer l'inégalité suivante :
    ∣e−αz−e−βz∣⩽∣z∣x(e−αx−e−βx)|e^{-\alpha z} - e^{-\beta z}| \leqslant \frac{|z|}{x} \left( e^{-\alpha x} - e^{-\beta x} \right)

  2. On suppose que la série ∑ane−λnz0\sum a_n e^{-\lambda_n z_0} converge en un point z0∈Cz_0 \in \mathbb{C}. Soit θ0∈[0,π/2[\theta_0 \in [0, \pi/2[. On définit le secteur angulaire :
    Sθ0={z∈C∖{z0}∣∣arg⁡(z−z0)∣⩽θ0}\mathcal{S}_{\theta_0} = \{ z \in \mathbb{C} \setminus \{z_0\} \mid |\arg(z-z_0)| \leqslant \theta_0 \}
    Montrer que la série de fonctions converge uniformément sur Sθ0\mathcal{S}_{\theta_0}.

1.

Pour la question 1, exprimer la différence sous forme d'intégrale de la fonction t↦ze−tzt \mapsto z e^{-tz}.

2.

Pour la question 2, effectuer un changement de variable pour se ramener au cas z0=0z_0 = 0. Utiliser ensuite une transformation d'Abel sur le reste de la série convergente.

3.

Utiliser le critère de Cauchy uniforme pour conclure.

Idées clés

•

Représentation intégrale pour les accroissements de l'exponentielle complexe.

•

Transformation d'Abel appliquée aux séries de fonctions.

•

Domination uniforme dans un secteur (Stolz) par l'argument du complexe.

Résolution.

  1. Soient 0<α<β0 < \alpha < \beta et z∈Cz \in \mathbb{C} avec Re(z)=x>0\text{Re}(z) = x > 0. On peut écrire la différence comme une intégrale :
    e−αz−e−βz=∫αβze−tz dte^{-\alpha z} - e^{-\beta z} = \int_{\alpha}^{\beta} z e^{-tz}   \text{d}t
    En passant au module et en utilisant l'inégalité triangulaire intégrale :
    ∣e−αz−e−βz∣⩽∫αβ∣z∣∣e−tz∣ dt=∣z∣∫αβe−tx dt|e^{-\alpha z} - e^{-\beta z}| \leqslant \int_{\alpha}^{\beta} |z| |e^{-tz}|   \text{d}t = |z| \int_{\alpha}^{\beta} e^{-tx}   \text{d}t
    Le calcul de l'intégrale réelle donne :
    ∫αβe−tx dt=[e−tx−x]αβ=e−αx−e−βxx\int_{\alpha}^{\beta} e^{-tx}   \text{d}t = \left[ \frac{e^{-tx}}{-x} \right]_{\alpha}^{\beta} = \frac{e^{-\alpha x} - e^{-\beta x}}{x}
    D'où le résultat attendu :
    ∣e−αz−e−βz∣⩽∣z∣x(e−αx−e−βx)\boxed{ |e^{-\alpha z} - e^{-\beta z}| \leqslant \frac{|z|}{x} \left( e^{-\alpha x} - e^{-\beta x} \right) }

  2. Quitte à poser w=z−z0w = z - z_0 et bn=ane−λnz0b_n = a_n e^{-\lambda_n z_0}, on peut supposer sans perte de généralité que z0=0z_0 = 0 et que ∑an\sum a_n converge. Notons Rn=∑k=n+1+∞akR_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k le reste de cette série convergente, qui tend vers 00. On a alors an=Rn−1−Rna_n = R_{n-1} - R_n pour n⩾1n \geqslant 1. Soit z∈Sθ0z \in \mathcal{S}_{\theta_0}. On a x=Re(z)>0x = \text{Re}(z) > 0 et ∣z∣x=1cos⁡(arg⁡z)⩽1cos⁡θ0\frac{|z|}{x} = \frac{1}{\cos(\arg z)} \leqslant \frac{1}{\cos \theta_0}. Pour M>N⩾1M > N \geqslant 1, effectuons une transformation d'Abel sur la tranche de la série :
    ∑n=N+1Mane−λnz=∑n=N+1M(Rn−1−Rn)e−λnz\sum_{n=N+1}^{M} a_n e^{-\lambda_n z} = \sum_{n=N+1}^{M} (R_{n-1} - R_n) e^{-\lambda_n z}
    En réindexant :
    ∑n=N+1Mane−λnz=RNe−λN+1z−RMe−λMz+∑n=N+1M−1Rn(e−λn+1z−e−λnz)\sum_{n=N+1}^{M} a_n e^{-\lambda_n z} = R_N e^{-\lambda_{N+1} z} - R_M e^{-\lambda_M z} + \sum_{n=N+1}^{M-1} R_n (e^{-\lambda_{n+1} z} - e^{-\lambda_n z})
    Soit ε>0\varepsilon > 0. Comme Rn→0R_n \to 0, il existe N0N_0 tel que pour tout n⩾N0n \geqslant N_0, ∣Rn∣⩽ε|R_n| \leqslant \varepsilon. Pour M>N⩾N0M > N \geqslant N_0 :
    ∣∑n=N+1Mane−λnz∣⩽ε∣e−λN+1z∣+ε∣e−λMz∣+ε∑n=N+1M−1∣e−λn+1z−e−λnz∣\left| \sum_{n=N+1}^{M} a_n e^{-\lambda_n z} \right| \leqslant \varepsilon |e^{-\lambda_{N+1} z}| + \varepsilon |e^{-\lambda_M z}| + \varepsilon \sum_{n=N+1}^{M-1} |e^{-\lambda_{n+1} z} - e^{-\lambda_n z}|
    Comme Re(z)>0\text{Re}(z) > 0, on a ∣e−λnz∣=e−λnx⩽1|e^{-\lambda_n z}| = e^{-\lambda_n x} \leqslant 1. En utilisant la question 1 :
    ∣e−λn+1z−e−λnz∣⩽∣z∣x(e−λnx−e−λn+1x)|e^{-\lambda_{n+1} z} - e^{-\lambda_n z}| \leqslant \frac{|z|}{x} (e^{-\lambda_n x} - e^{-\lambda_{n+1} x})
    La somme devient télescopique :
    ∣∑n=N+1Mane−λnz∣⩽2ε+ε∣z∣x∑n=N+1M−1(e−λnx−e−λn+1x)\left| \sum_{n=N+1}^{M} a_n e^{-\lambda_n z} \right| \leqslant 2\varepsilon + \varepsilon \frac{|z|}{x} \sum_{n=N+1}^{M-1} (e^{-\lambda_n x} - e^{-\lambda_{n+1} x})
    ∣∑n=N+1Mane−λnz∣⩽2ε+ε1cos⁡θ0(e−λN+1x−e−λMx)⩽ε(2+1cos⁡θ0)\left| \sum_{n=N+1}^{M} a_n e^{-\lambda_n z} \right| \leqslant 2\varepsilon + \varepsilon \frac{1}{\cos \theta_0} (e^{-\lambda_{N+1} x} - e^{-\lambda_M x}) \leqslant \varepsilon \left( 2 + \frac{1}{\cos \theta_0} \right)
    Le majorant est indépendant de z∈Sθ0z \in \mathcal{S}_{\theta_0}. Par le critère de Cauchy uniforme :
    La seˊrie ∑ane−λnz converge uniformeˊment sur Sθ0\boxed{\text{La série } \sum a_n e^{-\lambda_n z} \text{ converge uniformément sur } \mathcal{S}_{\theta_0}}

La convergence uniforme n'est pas globale sur le demi-plan.

Transformation d'Abel pour les séries de fonctions.