Inégalité de Carleman et moyennes de suites

Soit $\sum u_{n}$ une série convergente à termes réels strictement positifs. On note $S = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ .

Étudier la nature de la série de terme général $A_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_k$ .
Étude d'une inégalité technique
1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on a $\frac{1}{n} \ln (n!) - \ln (n+1) \geqslant -1$ .
2. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on a l'inégalité : $\frac{(n!)^{1/n}}{n+1} \geqslant \frac{1}{e}$
Convergence de sommes pondérées On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$ $n \in N^{*}$ , $w_n = \sum_{k=1}^n k u_k$ $w_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k u_{k}$ et $v_n = \frac{w_n}{n}$ $v_{n} = \frac{w _{n}}{n}$ .
1. Montrer que $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$ .
2. Calculer $\sum_{k=1}^{n} \frac{w_k}{k(k+1)}$ en fonction des sommes partielles de $\sum u_k$ .
3. En déduire que la série de terme général $\frac{w_n}{n(n+1)}$ converge et préciser sa somme en fonction de $S$ .
Inégalité de Carleman On considère la suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ $(g_{n})_{n \in N^{*}}$ définie par $g_n = \left( \prod_{k=1}^n u_k \right)^{1/n}$ $g_{n} = (\prod_{k = 1}^{n} u_{k})^{1/ n}$ .
1. Rappeler l'inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique (AM-GM).
2. En appliquant cette inégalité à la famille $(k u_k)_{1 \leqslant k \leqslant n}$ , montrer que : $g_n \leqslant \frac{e}{n(n+1)} w_n$
3. Démontrer alors que la série $\sum g_n$ converge et que : $\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \prod_{k=1}^n u_k \right)^{1/n} \leqslant e \sum_{n=1}^{+\infty} u_n$
Application Soit $\sum \frac{1}{a_n}$ une série convergente à termes $a_n > 0$ . Montrer que la série $\sum \frac{n}{a_1 + \dots + a_n}$ converge et donner une majoration de sa somme.

1.

Pour la question 1, utiliser un équivalent lié à la convergence de la série vers $S$ .

2.

Pour le 2.(a), utiliser la comparaison série-intégrale pour encadrer $\ln(n!)$ .

3.

Pour le 3.(b), effectuer une sommation par parties ou utiliser une décomposition en éléments simples de $\frac{1}{k(k+1)}$ .

4.

Pour l'inégalité de Carleman, écrire $g_n = \frac{1}{(n!)^{1/n}} (\prod k u_k)^{1/n}$ et utiliser le résultat du 2.(b).

5.

Pour la dernière question, utiliser l'inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique sous la forme $\frac{n}{\sum u_k} \le \frac{1}{g_n}$ .

Idées clés

•

Comparaison série-intégrale pour les estimations asymptotiques du type Stirling.

•

Transformation de suites (type Sommation d'Abel) pour l'étude des moyennes pondérées.

•

Inégalité AM-GM avec poids judicieux pour obtenir la constante $e$ .

Résolution.

Comme la série $\sum u_n$ converge vers $S > 0$ (car $u_n > 0$ ), la somme partielle $S_n = \sum_{k=1}^n u_k$ tend vers $S$ . Par conséquent, $A_n = \frac{S_n}{n} \sim \frac{S}{n}$ . Or, la série $\sum \frac{S}{n}$ diverge (série de Riemann de paramètre 1). Par comparaison de séries à termes positifs : $\boxed{\sum A_n \text{ diverge}}$
1. La fonction $x \mapsto \ln x$ est croissante sur $[1, +\infty[$ . Par comparaison série-intégrale : $\ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln k \geqslant \int_1^n \ln x dx = [x \ln x - x]_1^n = n \ln n - n + 1$ On en déduit : $\frac{1}{n} \ln(n!) - \ln(n+1) \geqslant \ln n - 1 + \frac{1}{n} - \ln(n+1) = \ln\left(\frac{n}{n+1}\right) - 1 + \frac{1}{n}$ Comme $\ln(1+x) \leqslant x$ pour tout $x > -1$ , on a $\ln(\frac{n+1}{n}) \leqslant \frac{1}{n}$ , soit $\ln(\frac{n}{n+1}) \geqslant -\frac{1}{n}$ . Ainsi : $\frac{1}{n} \ln(n!) - \ln(n+1) \geqslant -\frac{1}{n} - 1 + \frac{1}{n} = -1$ $\boxed{\frac{1}{n} \ln(n!) - \ln(n+1) \geqslant -1}$
2. En passant à l'exponentielle (croissante) : $\exp\left( \ln\left( \frac{(n!)^{1/n}}{n+1} \right) \right) \geqslant e^{-1} \implies \boxed{\frac{(n!)^{1/n}}{n+1} \geqslant \frac{1}{e}}$
1. C'est une application directe du lemme de Cesàro à la suite $(n u_n)$ . Si $\sum u_n$ converge, alors $n u_n$ n'est pas nécessairement de limite nulle, mais le résultat attendu se démontre par une sommation d'Abel. Soit $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k \to 0$ . $w_n = \sum_{k=1}^n k(R_{k-1} - R_k) = \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)R_k - \sum_{k=1}^n k R_k = \sum_{k=1}^{n-1} R_k + R_0 - n R_n$ . Par Cesàro sur les restes, $\frac{1}{n} \sum R_k \to 0$ et $R_n \to 0$ . Donc $\boxed{v_n \to 0}$ .
2. On utilise la décomposition $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ : $\sum_{k=1}^n \frac{w_k}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^n \frac{w_k}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{w_k}{k+1} = \sum_{k=1}^n \frac{w_k}{k} - \sum_{k=2}^{n+1} \frac{w_{k-1}}{k}$ $= \frac{w_1}{1} + \sum_{k=2}^n \frac{w_k - w_{k-1}}{k} - \frac{w_n}{n+1} = u_1 + \sum_{k=2}^n \frac{k u_k}{k} - \frac{w_n}{n+1}$ $= \sum_{k=1}^n u_k - \frac{w_n}{n+1} = \boxed{S_n - \frac{w_n}{n+1}}$
3. Comme $v_n \to 0$ , alors $\frac{w_n}{n+1} = \frac{n}{n+1} v_n \to 0$ . Par passage à la limite, la série converge et : $\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{w_n}{n(n+1)} = S}$
1. Pour $x_1, \dots, x_n > 0$ , on a $\boxed{\left( \prod_{k=1}^n x_k \right)^{1/n} \leqslant \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k}$ .
2. On écrit $g_n = \left( \prod_{k=1}^n \frac{k u_k}{k} \right)^{1/n} = \frac{1}{(n!)^{1/n}} \left( \prod_{k=1}^n k u_k \right)^{1/n}$ . D'après AM-GM sur les $x_k = k u_k$ : $g_n \leqslant \frac{1}{(n!)^{1/n}} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k u_k = \frac{w_n}{n (n!)^{1/n}}$ En utilisant l'inégalité de la question 2.(b), $\frac{1}{(n!)^{1/n}} \leqslant \frac{e}{n+1}$ , donc : $\boxed{g_n \leqslant \frac{e w_n}{n(n+1)}}$
3. En sommant les inégalités précédentes pour $n=1$ à $N$ : $\sum_{n=1}^N g_n \leqslant e \sum_{n=1}^N \frac{w_n}{n(n+1)}$ D'après 3.(c), le membre de droite converge vers $eS$ . Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, $\sum g_n$ converge et : $\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \prod_{k=1}^n u_k \right)^{1/n} \leqslant e \sum_{n=1}^{+\infty} u_n}$
Soit $b_n = \frac{1}{a_n}$ . La série $\sum b_n$ converge par hypothèse. D'après l'inégalité AM-HM (Moyenne Arithmétique $\geqslant$ Moyenne Harmonique), ou plus simplement en utilisant l'inégalité Arithmético-Géométrique : $\frac{n}{\sum_{k=1}^n a_k} \leqslant \left( \prod_{k=1}^n a_k \right)^{-1/n} = \left( \prod_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \right)^{1/n} = \left( \prod_{k=1}^n b_k \right)^{1/n}$ D'après l'inégalité de Carleman appliquée à la suite $(b_n)$ : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{a_1 + \dots + a_n} \leqslant \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \prod_{k=1}^n b_k \right)^{1/n} \leqslant e \sum_{n=1}^{+\infty} b_n = \boxed{e \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{a_n}}$

Utiliser AM-GM sans poids pondérés, ce qui mène à une série divergente.

L'inégalité de Carleman avec la constante optimale e.