Convergence d'une série de puissances symétrique

Résolution.

1. Étude de la convergence simple. Soit $x \in \mathbb{R}$. Analysons le comportement du terme général $f_n(x)$ selon les valeurs de $x$ : Cas 1 : $x \in [0, 1]$. Dans ce cas, on a $0 \leq x \leq 1$ et $0 \leq 1-x \leq 1$. On en déduit :
   $$|f_n(x)| \leq \frac{1^n + 1^n}{n^2} = \frac{2}{n^2}$$
   La série $\sum \frac{2}{n^2}$ est une série de Riemann convergente. Par comparaison, la série $\sum f_n(x)$ converge absolument, donc converge simplement. Cas 2 : $x > 1$. Si $x > 1$, alors $x^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. De plus, $|1-x| = x-1 < x$. On peut donc écrire :
   $$f_n(x) = \frac{x^n}{n^2} \left[ 1 + \left( \frac{1-x}{x} \right)^n \right]$$
   Comme $\left| \frac{1-x}{x} \right| < 1$, le terme entre crochets tend vers $1$. Par croissance comparée, $f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. La série diverge donc grossièrement. Cas 3 : $x < 0$. Si $x < 0$, alors $1-x > 1$. On a $|x| < 1-x$ (car $-x < 1-x$ équivaut à $0 < 1$). De la même manière :
   $$f_n(x) = \frac{(1-x)^n}{n^2} \left[ 1 + \left( \frac{x}{1-x} \right)^n \right]$$
   Comme $\left| \frac{x}{1-x} \right| < 1$, le terme entre crochets tend vers $1$. On en déduit que $f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. La série diverge grossièrement.
   $$\boxed{\text{La série converge simplement si et seulement si } x \in [0, 1].}$$

2. Étude de la convergence uniforme. Nous avons montré dans le premier cas que pour tout $x \in [0, 1]$ :
   $$|f_n(x)| \leq \frac{2}{n^2}$$
   Soit $v_n = \frac{2}{n^2}$. La série numérique $\sum v_n$ converge et est indépendante de $x$. Ceci prouve que la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $[0, 1]$. Comme la convergence normale sur un intervalle implique la convergence uniforme sur ce même intervalle, on conclut :
   $$\boxed{\text{La série converge uniformément sur } [0, 1].}$$