Série de fonctions alternée et logarithme

Résolution.

1. Convergence simple. Fixons $x \in \mathbb{R}^+$. Posons $u_n(x) = \ln \left( 1 + \frac{x}{n(1+x)} \right)$. Comme $x \geq 0$ et $n \geq 1$, on a $0 \leq \frac{x}{1+x} < 1$, donc $\frac{x}{n(1+x)} \geq 0$. On en déduit que $u_n(x) \geq 0$ pour tout $n$. Vérifions les hypothèses du critère spécial des séries alternées :
   • Décroissance : Pour $x$ fixé, la fonction $n \mapsto \frac{x}{n(1+x)}$ est décroissante. Comme la fonction $\ln$ est croissante sur $]0, +\infty[$, la suite $(u_n(x))_{n \geq 1}$ est décroissante.
   • Limite nulle : Pour $x$ fixé, $\lim_{n \to +\infty} \frac{x}{n(1+x)} = 0$. Par continuité du logarithme en $1$, $\lim_{n \to +\infty} u_n(x) = \ln(1) = 0$.
   D'après le critère spécial des séries alternées, la série $\sum (-1)^n u_n(x)$ converge.
   $$\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge simplement sur } \mathbb{R}^+.}$$

2. Convergence uniforme. Notons $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} f_k(x)$ le reste d'ordre $n$. D'après les propriétés du critère spécial des séries alternées, le reste d'une telle série est majoré en valeur absolue par le premier terme négligé :
   $$\forall x \in \mathbb{R}^+,   |R_n(x)| \leq |f_{n+1}(x)| = \ln \left( 1 + \frac{x}{(n+1)(1+x)} \right)$$
   Étudions la fonction $g : x \mapsto \frac{x}{1+x}$ sur $\mathbb{R}^+$. On a $g(x) = 1 - \frac{1}{1+x}$, donc $g$ est croissante et pour tout $x \geq 0$, $0 \leq g(x) < 1$. On en déduit la majoration indépendante de $x$ :
   $$\forall x \in \mathbb{R}^+,   |R_n(x)| \leq \ln \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)$$
   Or, $\lim_{n \to +\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right) = 0$. Ainsi, la suite des restes converge uniformément vers zéro sur $\mathbb{R}^+$, car :
   $$\boxed{\sup_{x \in \mathbb{R}^+} |R_n(x)| \leq \ln \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$$
   La série $\sum f_n$ converge donc uniformément sur $\mathbb{R}^+$.