Étude d'une série à décroissance exponentielle

Soit $(f_n)_{n \geq 1}$ la suite de fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

f_n(x) = x^2 e^{-x \sqrt{n}}

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)$ .
Étudier la convergence normale de la série $\sum f_n$ sur $[a, +\infty[$ (avec $a>0$ ), puis sur $[0, +\infty[$ .
Pour $a > 0$ , montrer que l'intégrale $\int_{a}^{+\infty} e^{-\sqrt{v}} \mathrm{d}v$ est convergente et calculer sa valeur.
À l'aide d'une comparaison série-intégrale, prouver que la série de fonctions $\sum f_n$ ne converge pas uniformément sur $]0, +\infty[$ .

1.

Pour la convergence simple, utiliser les croissances comparées si $x > 0$ .

2.

Pour la convergence normale, étudier les variations de $f_n$ . Le maximum se déplace vers $0$ .

3.

Pour le calcul d'intégrale, effectuer le changement de variable $u = \sqrt{v}$ .

4.

Pour la convergence uniforme, minorer le reste $R_n(x)$ en utilisant la décroissance de $v \mapsto e^{-x\sqrt{v}}$ .

Idées clés

•

Étude de fonction pour la norme infinie.

•

Comparaison avec une intégrale pour estimer un reste.

•

Lien entre convergence normale et convergence uniforme.

Résolution.

Convergence simple : Si $x < 0$ , alors $f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ , donc la série diverge grossièrement. Si $x = 0$ , $f_n(0) = 0$ pour tout $n$ , donc la série converge. Si $x > 0$ , par croissances comparées, on a $f_n(x) = o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ . Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série $\sum f_n(x)$ converge absolument. $\boxed{ D_S = [0, +\infty[ }$
Convergence normale : Calculons la dérivée : $f_n'(x) = x(2 - x\sqrt{n})e^{-x\sqrt{n}}$ . La fonction $f_n$ atteint son maximum sur $[0, +\infty[$ au point $x_n = \frac{2}{\sqrt{n}}$ . On a alors $\|f_n\|_{\infty, [0, +\infty[} = f_n(x_n) = \frac{4}{n} e^{-2}$ . Comme la série $\sum \frac{4}{ne^2}$ diverge (série harmonique), il n'y a pas convergence normale sur $[0, +\infty[$ . Soit $a > 0$ . Pour $n$ assez grand tel que $x_n < a$ (soit $n > \frac{4}{a^2}$ ), $f_n$ est décroissante sur $[a, +\infty[$ . Ainsi, $\|f_n\|_{\infty, [a, +\infty[} = f_n(a) = a^2 e^{-a\sqrt{n}}$ . Par croissances comparées, $f_n(a) = o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ , ce qui assure la convergence normale sur $[a, +\infty[$ .
Calcul d'intégrale : Posons $u = \sqrt{v}$ , d'où $v = u^2$ et $\mathrm{d}v = 2u \mathrm{d}u$ . $\int_{a}^{y} e^{-\sqrt{v}} \mathrm{d}v = \int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{y}} 2u e^{-u} \mathrm{d}u$ Par intégration par parties : $\int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{y}} 2u e^{-u} \mathrm{d}u = \left[ -2(u+1)e^{-u} \right]_{\sqrt{a}}^{\sqrt{y}}$ En faisant tendre $y$ vers $+\infty$ , on obtient : $\boxed{ \int_{a}^{+\infty} e^{-\sqrt{v}} \mathrm{d}v = 2(1+\sqrt{a})e^{-\sqrt{a}} }$
Non-convergence uniforme sur $]0, +\infty[$ : Considérons le reste $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} x^2 e^{-x\sqrt{k}}$ . La fonction $v \mapsto x^2 e^{-x\sqrt{v}}$ est décroissante sur $[n+1, +\infty[$ dès que $x > 0$ . Par comparaison série-intégrale : $R_n(x) \geq \int_{n+1}^{+\infty} x^2 e^{-x\sqrt{v}} \mathrm{d}v$ Effectuons le changement de variable $t = x\sqrt{v}$ , alors $v = \frac{t^2}{x^2}$ et $\mathrm{d}v = \frac{2t}{x^2} \mathrm{d}t$ . $R_n(x) \geq \int_{x\sqrt{n+1}}^{+\infty} 2t e^{-t} \mathrm{d}t$ Choisissons $x_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ . Alors : $R_n(x_n) \geq \int_{1}^{+\infty} 2t e^{-t} \mathrm{d}t = \frac{4}{e} > 0$ Le reste ne tend pas uniformément vers 0 car $\|R_n\|_{\infty} \not\to 0$ . $\boxed{ \text{La série ne converge pas uniformément sur } ]0, +\infty[ }$

Convergence normale locale vs globale

Estimation du reste par intégrale pour nier la CVU