Série rationnelle et théorème de la double limite

Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit $f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ par :

f_n(x) = \frac{1}{n + n^3 x^2}

Déterminer l'ensemble de convergence simple de la série de fonctions $\sum f_n$ .
Justifier la convergence normale de cette série sur $[a, +\infty[$ pour tout $a > 0$ .
En utilisant le théorème de la double limite en 0, démontrer que la série $\sum f_n$ ne converge pas uniformément sur $]0, +\infty[$ .

1.

Pour $x \neq 0$ , utiliser un équivalent simple du terme général.

2.

Pour la convergence normale, majorer $|f_n(x)|$ par sa valeur en $a$ .

3.

Le théorème de la double limite stipule que si $\sum f_n$ converge uniformément sur $I$ , alors $\lim_{x \to x_0} \sum f_n(x) = \sum \lim_{x \to x_0} f_n(x)$ (sous réserve d'existence des limites individuelles).

Idées clés

•

Critères de convergence pour les séries numériques (Riemann).

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Théorème de la double limite pour l'interversion limite-somme.

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Lien entre continuité/définition de la somme et convergence uniforme.

Résolution.

Convergence simple : Si $x = 0$ , $f_n(0) = \frac{1}{n}$ . La série $\sum \frac{1}{n}$ est la série harmonique, elle diverge. Si $x \neq 0$ , on a $f_n(x) \sim \frac{1}{n^3 x^2}$ quand $n \to +\infty$ . C'est le terme général d'une série de Riemann convergente ( $\alpha = 3 > 1$ ). $\boxed{ D_S = \mathbb{R}^* }$
Convergence normale : Soit $a > 0$ . Pour tout $x \in [a, +\infty[$ , on a : $|f_n(x)| = \frac{1}{n + n^3 x^2} \leq \frac{1}{n^3 a^2}$ On pose $u_n = \frac{1}{a^2 n^3}$ . La série numérique $\sum u_n$ converge. Par conséquent, la série $\sum f_n$ converge normalement sur $[a, +\infty[$ . Par parité, il y a aussi convergence normale sur $]-\infty, -a]$ .
Non-convergence uniforme : Supposons par l'absurde que la série $\sum f_n$ converge uniformément sur $]0, \delta]$ pour un certain $\delta > 0$ . Chaque fonction $f_n$ admet une limite finie en 0 : $\lim_{x \to 0} f_n(x) = \frac{1}{n}$ D'après le théorème de la double limite, la série des limites $\sum \frac{1}{n}$ devrait converger. Or, on sait que $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$ diverge vers $+\infty$ . Ceci constitue une contradiction. $\boxed{ \text{La série ne converge pas uniformément sur } ]0, +\infty[ }$

Limite de la somme vs somme des limites

Utiliser la divergence de la série des limites pour nier la CVU