Sommation d'une série de fonctions rationnelles

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on considère la fonction $f_n$ définie sur son domaine de définition par :

f_n(x) = \frac{2^{n} x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}}

On s'intéresse à la fonction

f

définie par la série de fonctions

f = \sum_{n=0}^{\infty} f_n

.

Déterminer le domaine de définition $D$ de la fonction $f$ .
Étudier la convergence normale de la série $\sum f_n$ sur les parties compactes de $D$ .
Soient $x \in ]-1, 1[$ $x \in] - 1, 1 [$ et $N \in \mathbb{N}$ $N \in N$ .
1. Simplifier l'expression du produit partiel $P_N(x) = \prod_{n=0}^{N} (1 + x^{2^n})$ .
2. En utilisant la dérivée logarithmique de $P_N$ , ou en considérant une primitive de $f_n$ , déterminer une expression explicite de $f(x)$ pour tout $x \in D$ .

1.

Pour le domaine, comparer $|f_n(x)|$ à une suite géométrique pour $|x| < 1$ , et vérifier la divergence grossière sinon.

2.

Pour le produit, utiliser l'identité $(1-u)(1+u) = 1-u^2$ de manière itérative (télescopage multiplicatif).

3.

Remarquer que $f_n$ est de la forme $u'/u$ pour une fonction $u$ bien choisie.

Idées clés

•

Convergence des séries de fonctions (critère de domination).

•

Identité remarquable pour les produits de puissances de 2 (décomposition binaire de l'unité).

•

Lien entre somme de dérivées logarithmiques et dérivée d'un produit.

Résolution.

Étude du domaine de définition. Soit $x \in \mathbb{R}$ $x \in R$ . La fonction $f_n$ $f_{n}$ est définie si $1 + x^{2^n} \neq 0$ $1 + x^{2^{n}} \neq = 0$ . Si $n \geq 1$ $n \geq 1$ , $2^n$ $2^{n}$ est pair, donc $1 + x^{2^n} \geq 1 > 0$ $1 + x^{2^{n}} \geq 1 > 0$ . Pour $n=0$ $n = 0$ , $f_0(x) = \frac{1}{1+x}$ $f_{0} (x) = \frac{1}{1 + x}$ , qui impose $x \neq -1$ $x \neq = - 1$ . Analysons la convergence de la série $\sum f_n(x)$ $\sum f_{n} (x)$ :
- Cas $|x| < 1$ : Quand $n \to +\infty$ , $x^{2^n} \to 0$ . Ainsi, le dénominateur $1 + x^{2^n}$ tend vers 1. On a l'équivalent : $|f_n(x)| \sim 2^n |x|^{2^n-1}$ . Par croissance comparée, $n^2 |f_n(x)| \to 0$ , donc la série converge absolument.
- Cas $x = 1$ : $f_n(1) = \frac{2^n}{1+1} = 2^{n-1}$ . La suite $(f_n(1))$ diverge vers $+\infty$ , donc la série diverge grossièrement.
- Cas $|x| > 1$ : $f_n(x) = \frac{2^n x^{2^n-1}}{x^{2^n}(1 + x^{-2^n})} = \frac{2^n}{x(1 + x^{-2^n})}$ . Puisque $x^{-2^n} \to 0$ , on a $f_n(x) \sim \frac{2^n}{x}$ , ce qui entraîne une divergence grossière de la série.
$\boxed{ D = ]-1, 1[ }$
Convergence normale sur les compacts. Soit $a \in [0, 1[$ . Pour tout $x \in [-a, a]$ , on a $|x| \leq a$ . D'après l'étude précédente, pour $n$ assez grand ( $n \geq n_0$ ) : $|f_n(x)| \leq \frac{2^n a^{2^n-1}}{1-a^{2^n}} \leq 2 \cdot 2^n a^{2^n-1}$ La série numérique de terme général $2^n a^{2^n-1}$ converge (par exemple par le critère de d'Alembert ou par croissance comparée). La série $\sum f_n$ converge donc normalement, et donc uniformément, sur tout segment $[-a, a] \subset ]-1, 1[$ .
Calcul de la somme.
1. Soit $x \in ]-1, 1[$ . On cherche à simplifier $P_N(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)\dots(1+x^{2^N})$ . Multiplions par $(1-x)$ : $(1-x)P_N(x) = (1-x)(1+x)(1+x^2)\dots(1+x^{2^N})$ En utilisant $(1-x^{2^k})(1+x^{2^k}) = 1-x^{2^{k+1}}$ , on obtient par récurrence immédiate : $(1-x)P_N(x) = 1 - x^{2^{N+1}}$ Comme $x \neq 1$ , on en déduit : $\boxed{ P_N(x) = \frac{1 - x^{2^{N+1}}}{1-x} }$
2. On remarque que $f_n(x) = \frac{d}{dx} \ln(1 + x^{2^n})$ . Par linéarité de la dérivation : $\sum_{n=0}^N f_n(x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^N \ln(1 + x^{2^n}) \right) = \frac{d}{dx} \ln \left( \prod_{n=0}^N (1 + x^{2^n}) \right)$ D'après la question précédente : $\sum_{n=0}^N f_n(x) = \frac{d}{dx} \ln \left( \frac{1 - x^{2^{N+1}}}{1-x} \right) = \frac{d}{dx} \left( \ln(1 - x^{2^{N+1}}) - \ln(1-x) \right)$ En dérivant, on obtient : $\sum_{n=0}^N f_n(x) = \frac{-2^{N+1} x^{2^{N+1}-1}}{1 - x^{2^{N+1}}} + \frac{1}{1-x}$ Comme $|x| < 1$ , la limite quand $N \to +\infty$ du premier terme est nulle par croissance comparée. Finalement, pour tout $x \in ]-1, 1[$ : $\boxed{ f(x) = \frac{1}{1-x} }$

Oublier d'étudier le cas x < 0 ou ne pas justifier la convergence vers 0 du terme résiduel.

Utiliser la structure u'/u pour transformer une somme en dérivée de logarithme de produit.