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Approximation de l'exponentielle par la suite d'Euler

exponentielleconvergence uniformeEulerétude de fonctionInégalité de concavitéPoint critique

Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. On considère la fonction fnf_{n} définie sur [0,+∞[[0, +\infty[ par :

{fn(x)=(1−xn)nsi x∈[0,n]fn(x)=0si x>n\begin{cases} f_{n}(x) = \left(1 - \dfrac{x}{n}\right)^{n} & \text{si } x \in [0, n]
f_{n}(x) = 0 & \text{si } x > n \end{cases}
On définit également, pour tout x∈[0,+∞[x \in [0, +\infty[, la fonction d'écart gng_{n} par gn(x)=e−x−fn(x)g_{n}(x) = e^{-x} - f_{n}(x).

  1. Montrer que pour tout x∈[0,n]x \in [0, n], on a l'encadrement suivant :
    0≤gn(x)≤1n0 \le g_{n}(x) \le \dfrac{1}{n}
    On pourra étudier les points d'annulation de la dérivée de gng_n.
  2. En déduire que la suite de fonctions (fn)n∈N∗(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*} converge uniformément sur [0,+∞[[0, +\infty[ vers la fonction x↦e−xx \mapsto e^{-x}.

1.

Pour la question 1, utiliser l'inégalité classique ln⁡(1+u)≤u\ln(1+u) \le u pour montrer la positivité. Pour la majoration, dériver gng_n et exprimer la valeur au point critique en fonction de x/nx/n.

2.

Pour la question 2, séparer l'étude sur [0,n][0, n] et sur ]n,+∞[]n, +\infty[, en remarquant que e−ne^{-n} tend vers 0.

Idées clés

•

Étude de fonction et recherche d'extremum.

•

Utilisation de la concavité du logarithme : ln⁡(1+u)≤u\ln(1+u) \le u.

•

Caractérisation de la convergence uniforme par la borne supérieure.

Résolution.

  1. Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^* et x∈[0,n]x \in [0, n]. Étape 1 : Positivité de gng_n. Pour x∈[0,n]x \in [0, n], on a 1−x/n≥01 - x/n \ge 0. On peut écrire :
    fn(x)=exp⁡(nln⁡(1−xn))f_n(x) = \exp\left( n \ln\left(1 - \frac{x}{n}\right) \right)
    D'après l'inégalité de concavité du logarithme, pour tout u∈]−∞,1[u \in ]-\infty, 1[, ln⁡(1−u)≤−u\ln(1-u) \le -u. En posant u=x/nu = x/n, on obtient :
    nln⁡(1−xn)≤n(−xn)=−xn \ln\left(1 - \frac{x}{n}\right) \le n \left( - \frac{x}{n} \right) = -x
    Par croissance de l'exponentielle, il vient fn(x)≤e−xf_n(x) \le e^{-x}, ce qui prouve :
    ∀x∈[0,n],gn(x)≥0\boxed{ \forall x \in [0, n],   g_n(x) \ge 0 }

    Étape 2 : Majoration de gng_n. La fonction gng_n est dérivable sur [0,n][0, n] et :

    gn′(x)=−e−x−n(−1n)(1−xn)n−1=−e−x+(1−xn)n−1g_n'(x) = -e^{-x} - n \left( -\frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{x}{n} \right)^{n-1} = -e^{-x} + \left( 1 - \frac{x}{n} \right)^{n-1}
    Un point critique x0∈[0,n]x_0 \in [0, n] vérifie gn′(x0)=0g_n'(x_0) = 0, soit e−x0=(1−x0n)n−1e^{-x_0} = \left( 1 - \frac{x_0}{n} \right)^{n-1}. En ce point, la valeur de la fonction est :
    gn(x0)=(1−x0n)n−1−(1−x0n)n=(1−x0n)n−1(1−(1−x0n))g_n(x_0) = \left( 1 - \frac{x_0}{n} \right)^{n-1} - \left( 1 - \frac{x_0}{n} \right)^n = \left( 1 - \frac{x_0}{n} \right)^{n-1} \left( 1 - \left( 1 - \frac{x_0}{n} \right) \right)
    On obtient donc :
    gn(x0)=x0n(1−x0n)n−1g_n(x_0) = \frac{x_0}{n} \left( 1 - \frac{x_0}{n} \right)^{n-1}
    Posons h(t)=t(1−t)n−1h(t) = t(1-t)^{n-1} pour t∈[0,1]t \in [0, 1]. La dérivée h′(t)=(1−t)n−1−(n−1)t(1−t)n−2=(1−t)n−2(1−nt)h'(t) = (1-t)^{n-1} - (n-1)t(1-t)^{n-2} = (1-t)^{n-2}(1-nt) s'annule en t=1/nt = 1/n. Le maximum de hh est atteint en 1/n1/n et vaut h(1/n)=1n(1−1/n)n−1≤1nh(1/n) = \frac{1}{n}(1-1/n)^{n-1} \le \frac{1}{n}. Comme gn(0)=0g_n(0) = 0 et gn(n)=e−n≤1/ng_n(n) = e^{-n} \le 1/n (car en≥1+ne^n \ge 1+n par convexité), le maximum global de gng_n sur [0,n][0, n] est bien inférieur à 1/n1/n.
    ∀x∈[0,n],gn(x)≤1n\boxed{ \forall x \in [0, n],   g_n(x) \le \frac{1}{n} }

  2. Pour x>nx > n, fn(x)=0f_n(x) = 0, donc ∣fn(x)−e−x∣=e−x<e−n|f_n(x) - e^{-x}| = e^{-x} < e^{-n}. Sur [0,n][0, n], on a montré que ∣fn(x)−e−x∣≤1/n|f_n(x) - e^{-x}| \le 1/n. Ainsi, sur [0,+∞[[0, +\infty[ :
    sup⁡x∈[0,+∞[∣fn(x)−e−x∣≤max⁡(1n,e−n)=1n\sup_{x \in [0, +\infty[} |f_n(x) - e^{-x}| \le \max\left( \frac{1}{n}, e^{-n} \right) = \frac{1}{n}
    Comme lim⁡n→+∞1n=0\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0, on en déduit :
    fn→unif(x↦e−x) sur [0,+∞[\boxed{ f_n \xrightarrow{\text{unif}} (x \mapsto e^{-x}) \text{ sur } [0, +\infty[ }

Ne pas oublier de traiter séparément le cas x > n.

La suite (1-x/n)^n converge uniformément vers e^{-x} sur R+.