Densité par translations et dilatations

Sens direct ($\implies$ par contraposée).

Supposons que $f$ soit un polynôme de degré $d \in \mathbb{N}$. Pour tout $a \in \mathbb{R}_+^*$ et $b \in \mathbb{R}$, la fonction $x \mapsto f(ax+b)$ est également un polynôme de degré au plus $d$.

Ainsi, le sous-espace $V_f$ est inclus dans l'espace des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à $d$ :

Or, $\mathbb{R}_d[X]$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie ($d+1$) de $\mathcal{C}(I, \mathbb{R})$. Un sous-espace de dimension finie est toujours fermé dans un espace vectoriel normé. On en déduit :

Puisque $\mathcal{C}(I, \mathbb{R})$ est de dimension infinie, $\overline{V_f} \neq \mathcal{C}(I, \mathbb{R})$, donc $V_f$ n'est pas dense.

Sens réciproque ($\implied m$).

Supposons que $f$ ne soit pas un polynôme. Cela signifie que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un réel $b_n$ tel que $f^{(n)}(b_n) \neq 0$. Montrons par récurrence sur $n$ que le monôme $x \mapsto x^n$ appartient à $\overline{V_f}$.

Initialisation ($n=0$) : Comme $f$ n'est pas nulle (sinon ce serait un polynôme), il existe $b \in \mathbb{R}$ tel que $f(b) \neq 0$. La fonction constante $x \mapsto f(b)$ appartient à $V_f$ (cas $a \to 0$ par continuité, ou plus rigoureusement, en considérant $f(ax+b) \in V_f$ et en faisant tendre $a$ vers $0$). En effet, pour tout $x \in I$, $f(ax+b) \xrightarrow[a \to 0]{} f(b)$ uniformément sur le segment $I$. Comme $V_f$ est un sous-espace, la fonction constante $1 = \frac{1}{f(b)} \cdot f(b)$ est dans $\overline{V_f}$.

Hérédité : Supposons que $\mathbb{R}_{n-1}[X] \subset \overline{V_f}$. Soit $b$ tel que $f^{(n)}(b) \neq 0$. D'après la formule de Taylor-Young en $b$, pour $ax$ au voisinage de $0$ :

Considérons la fonction $g_a : x \mapsto \frac{1}{a^n} \left( f(ax+b) - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(b)}{k!} (ax)^k \right)$. Par hypothèse de récurrence, les fonctions $x \mapsto x^k$ pour $k < n$ sont dans $\overline{V_f}$, donc la somme soustraite est dans $\overline{V_f}$. Ainsi, $g_a$ est dans $\overline{V_f}$.

Quand $a \to 0$, $g_a(x) \to \frac{f^{(n)}(b)}{n!} x^n$ uniformément sur $I$. On en conclut que $x \mapsto x^n \in \overline{\overline{V_f}} = \overline{V_f}$.

Conclusion : $\overline{V_f}$ contient tous les monômes, donc il contient $\mathbb{R}[X]$. D'après le théorème de Weierstrass, $\mathbb{R}[X]$ est dense dans $\mathcal{C}(I, \mathbb{R})$.