Algèbre engendrée par une fonction

Résolution.

1. Condition suffisante : supposons $f$ injective. Vérifions les hypothèses du théorème de Stone-Weierstrass pour l'ensemble $\mathcal{A} = \mathbb{R}[f]$ :
   • $\mathcal{A}$ est une sous-algèbre de $\mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$. En effet, la somme et le produit de deux polynômes en $f$ sont encore des polynômes en $f$.
   • $\mathcal{A}$ contient les fonctions constantes : pour $P = 1$, $P \circ f = 1 \in \mathcal{A}$.
   • $\mathcal{A}$ sépare les points : soient $x, y \in [0, 1]$ tels que $x \neq y$. Puisque $f$ est injective, on a $f(x) \neq f(y)$. En choisissant le polynôme $P = X$, la fonction $g = P \circ f = f$ appartient à $\mathcal{A}$ et vérifie $g(x) \neq g(y)$.

   D'après le théorème de Stone-Weierstrass, toute sous-algèbre de $\mathcal{C}(K, \mathbb{R})$ (où $K$ est compact) contenant les constantes et séparant les points est dense. On conclut que :

   $$\boxed{ \overline{\mathbb{R}[f]} = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R}) }$$

2. Condition nécessaire : supposons $\mathbb{R$[f] dense.} Raisonnons par contraposée. Supposons que $f$ ne soit pas injective. Il existe alors deux points distincts $x_0, y_0 \in [0, 1]$ tels que $f(x_0) = f(y_0)$.

   Pour toute fonction $g \in \mathbb{R}[f]$, il existe un polynôme $P$ tel que $g = P \circ f$. On a donc :

   $$g(x_0) = P(f(x_0)) = P(f(y_0)) = g(y_0)$$

   Soit $h \in \overline{\mathbb{R}[f]}$. Il existe une suite $(g_n)$ d'éléments de $\mathbb{R}[f]$ convergeant uniformément vers $h$ sur $[0, 1]$. En particulier, la convergence est ponctuelle en $x_0$ et $y_0$. On a :

   $$h(x_0) = \lim_{n \to \infty} g_n(x_0)   \text{et}   h(y_0) = \lim_{n \to \infty} g_n(y_0)$$
   Puisque pour tout $n$, $g_n(x_0) = g_n(y_0)$, on en déduit par passage à la limite :
   $$\boxed{ h(x_0) = h(y_0) }$$

   Ceci prouve que toutes les fonctions de l'adhérence de $\mathbb{R}[f]$ prennent la même valeur en $x_0$ et $y_0$. Or, il existe des fonctions continues sur $[0, 1]$ qui prennent des valeurs distinctes en $x_0$ et $y_0$ (par exemple la fonction $h(x) = x$). Donc $\overline{\mathbb{R}[f]} \neq \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$.