Points de discontinuité d'une fonction monotone

Résolution.

1. Cas où $A$ est infini dénombrable. Soit $A = \{a_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ une énumération de $A$. On définit pour tout $n \in \mathbb{N}$ la fonction $h_n$ par :
   $$h_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < a_n$$
   1 & \text{si } x \ge a_n \end{cases}
   Considérons la fonction $g$ définie par :
   $$g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} h_n(x)$$
   La série converge normalement sur $\mathbb{R}$ car $| \frac{1}{2^n} h_n(x) | \le \frac{1}{2^n}$, donc $g$ est bien définie.
2. Analyse des sauts de $g$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g$ est croissante comme somme de fonctions croissantes. Calculons le saut en $x_0$ :
   $$g(x_0) - g(x_0^-) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} (h_n(x_0) - \lim_{x \to x_0^-} h_n(x))$$
   Pour chaque $n$, la différence $h_n(x_0) - h_n(x_0^-)$ vaut $1$ si $x_0 = a_n$ et $0$ sinon. Par conséquent :
   $$\boxed{ g(x_0) - g(x_0^-) = \begin{cases} 2^{-k} & \text{si } x_0 = a_k \in A$$
   0 & \text{si } x_0 \notin A \end{cases} }
   De même, on vérifie que $g(x_0^+) - g(x_0) = 0$ pour tout $x_0$ car $h_n$ est continue à droite. Ainsi, $g$ est discontinue en $x_0$ si et seulement si $x_0 \in A$.
3. Construction de la fonction strictement croissante. La fonction $g$ est croissante, mais pas nécessairement strictement croissante (elle est constante entre deux points de $A$ si $A$ n'est pas dense). Pour obtenir une fonction $f$ strictement croissante, on pose :
   $$\boxed{ f(x) = x + g(x) }$$
   Comme $x \mapsto x$ est strictement croissante et continue sur $\mathbb{R}$, et $g$ est croissante, $f$ est strictement croissante. Les points de discontinuité de $f$ sont les mêmes que ceux de $g$ (puisque l'ajout d'une fonction continue ne modifie pas le caractère discontinu).
   $$\boxed{ \text{L'ensemble des points de discontinuité de } f \text{ est exactement } A. }$$