Propriétés des fonctions presque périodiques de Bohr

Résolution.

1. Structure de sous-algèbre. Tout d'abord, les fonctions $t \mapsto \cos(\omega t)$ et $t \mapsto \sin(\omega t)$ sont continues et bornées sur $\mathbb{R}$. Par combinaison linéaire, tout élément de $\mathcal{E}$ est continu et borné. Puisque $\mathcal{F}$ est l'adhérence de $\mathcal{E}$ pour la norme $\| \cdot \|_\infty$, $\mathcal{F}$ est un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions continues bornées. Pour montrer que c'est une algèbre, montrons que $\mathcal{E}$ est stable par produit. Soient $g_1, g_2 \in \mathcal{E}$. Par linéarité, il suffit de vérifier le produit de générateurs :
   $$\cos(\omega_1 t) \cos(\omega_2 t) = \frac{1}{2} \left( \cos((\omega_1 + \omega_2)t) + \cos((\omega_1 - \omega_2)t) \right) \in \mathcal{E}$$
   Un calcul similaire avec $\sin$ et $\cos$ montre que le produit de deux générateurs de $\mathcal{E}$ reste dans $\mathcal{E}$. Ainsi, $\mathcal{E}$ est une sous-algèbre. L'adhérence d'une sous-algèbre pour la norme infinie est une sous-algèbre. En effet, si $u_n \to u$ et $v_n \to v$ uniformément avec $u_n, v_n \in \mathcal{E}$, alors :
   $$\|u_n v_n - uv\|_\infty \leq \|u_n\|_\infty \|v_n - v\|_\infty + \|v\|_\infty \|u_n - u\|_\infty$$
   Comme les suites convergentes sont bornées, le membre de droite tend vers 0.
   $$\boxed{\mathcal{F} \text{ est une sous-algèbre de } \mathcal{C}^0_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})}$$

2. Stabilité par composition. Soit $g \in \mathcal{F}$. Puisque $g$ est bornée, il existe $M > 0$ tel que $g(\mathbb{R}) \subset [-M, M]$. D'après le théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes $(P_n)$ convergeant uniformément vers $f$ sur le segment $[-M, M]$. On a alors :
   $$\forall x \in \mathbb{R},   |P_n(g(x)) - f(g(x))| \leq \sup_{t \in [-M, M]} |P_n(t) - f(t)|$$
   Ainsi, la suite de fonctions $(P_n \circ g)$ converge uniformément vers $f \circ g$ sur $\mathbb{R}$. Or, d'après la question 1, $\mathcal{F}$ est une algèbre contenant les constantes, donc pour tout polynôme $P$, $P \circ g \in \mathcal{F}$. Par fermeture de $\mathcal{F}$ pour la convergence uniforme :
   $$\boxed{f \circ g \in \mathcal{F}}$$

3. Moyenne de Bohr et spectre.
   1. Existence de la limite. Soit $g \in \mathcal{F}$. Il existe une suite $(g_n)$ d'éléments de $\mathcal{E}$ telle que $\|g_n - g\|_\infty \to 0$. Pour $T > 0$, posons $L_T(g) = \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} g(x) e^{-i\omega x}   \mathrm{d}x$. L'application $L_T$ est linéaire et $|L_T(g)| \leq \|g\|_\infty$ (car $|e^{-i\omega x}| = 1$). Pour $g_n \in \mathcal{E}$, $g_n$ est une combinaison finie de $x \mapsto e^{i\lambda x}$ ($\lambda \in \mathbb{R}$). Si $h(x) = e^{i\lambda x}$, alors :
      $$L_T(h) = \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} e^{i(\lambda - \omega)x}   \mathrm{d}x = \begin{cases} 1 & \text{si } \lambda = \omega$$
      \frac{\sin((\lambda-\omega)T)}{(\lambda-\omega)T} & \text{sinon} \end{cases}
      Dans les deux cas, $L_T(h)$ admet une limite quand $T \to +\infty$. Par linéarité, $L_T(g_n)$ admet une limite $\ell_n$ pour tout $n$. De plus, $|L_T(g_n) - L_T(g)| \leq \|g_n - g\|_\infty$. La suite de fonctions $(T \mapsto L_T(g_n))$ converge donc uniformément sur $]0, +\infty[$ vers $T \mapsto L_T(g)$. D'après le théorème d'interversion des limites, la limite $\lim_{T \to +\infty} L_T(g)$ existe et :
      $$\boxed{\tilde{g}(\omega) = \lim_{n \to +\infty} \ell_n}$$

   2. Dénombrabilité du spectre. Pour chaque $g_n \in \mathcal{E}$, l'ensemble $S_n = \{\omega \in \mathbb{R} \mid \ell_n(\omega) \neq 0\}$ est fini (il correspond aux pulsations présentes dans la décomposition de $g_n$). Si $\omega \notin \bigcup_{n \in \mathbb{N}} S_n$, alors pour tout $n$, $\ell_n(\omega) = 0$. D'après le résultat précédent, $\tilde{g}(\omega) = \lim \ell_n(\omega) = 0$. L'ensemble des $\omega$ tels que $\tilde{g}(\omega) \neq 0$ est donc inclus dans $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} S_n$. Comme chaque $S_n$ est fini, cette union est une réunion dénombrable d'ensembles finis, elle est donc au plus dénombrable.
      $$\boxed{\{\omega \in \mathbb{R} \mid \tilde{g}(\omega) \neq 0\} \text{ est dénombrable}}$$