Identité d'Euler sur les produits infinis

Résolution.

1. La convergence des produits $\prod (1+z^k)$ et $\prod (1-z^{2k-1})$ est assurée par la convergence absolue des séries $\sum z^k$ et $\sum z^{2k-1}$ pour $|z| < 1$. Ces deux séries sont des séries géométriques (ou des sous-familles de la série géométrique) dont la raison est de module strictement inférieur à 1.
   $$\boxed{ f \text{ est bien définie sur le disque unité ouvert } D(0,1). }$$

2. Utilisons l'identité suggérée : $1+z^k = \frac{1-z^{2k}}{1-z^k}$. Le produit partiel de $P_1(z)$ s'écrit :
   $$\prod_{k=1}^{N} (1+z^k) = \prod_{k=1}^{N} \frac{1-z^{2k}}{1-z^k} = \frac{\prod_{k=1}^{N} (1-z^{2k})}{\prod_{k=1}^{N} (1-z^k)}$$
   En passant à la limite quand $N \to +\infty$ :
   $$P_1(z) = \frac{\prod_{k=1}^{+\infty} (1-z^{2k})}{\prod_{k=1}^{+\infty} (1-z^k)}$$
   Or, l'ensemble des entiers naturels non nuls $\mathbb{N}^*$ est la réunion disjointe des entiers pairs et des entiers impairs. On peut donc séparer le produit au dénominateur :
   $$\prod_{k=1}^{+\infty} (1-z^k) = \left( \prod_{p=1}^{+\infty} (1-z^{2p}) \right) \times \left( \prod_{p=1}^{+\infty} (1-z^{2p-1}) \right)$$
   En réinjectant cette égalité dans l'expression de $P_1(z)$, on obtient par simplification des termes pairs :
   $$P_1(z) = \frac{\prod_{k=1}^{+\infty} (1-z^{2k})}{\left( \prod_{k=1}^{+\infty} (1-z^{2k}) \right) \left( \prod_{k=1}^{+\infty} (1-z^{2k-1}) \right)}$$
   D'où :
   $$P_1(z) = \frac{1}{\prod_{k=1}^{+\infty} (1-z^{2k-1})} = \frac{1}{P_2(z)}$$
   On en déduit finalement :
   $$\boxed{ f(z) = 1 }$$