Suite de fonctions trigonométriques et exponentielles

Résolution.

1. Convergence simple : Soit $x \in \mathbb{R}$. Si $x = 0$, $f_n(0) = \frac{n+2}{n+1} e^{0} \cos(0) = \frac{n+2}{n+1}$. On a $\lim_{n \to +\infty} f_n(0) = 1$. Si $x \neq 0$, alors $nx^2 \to +\infty$. Comme $|\cos(\sqrt{n}x)| \leq 1$ et $\frac{n+2}{n+1} \to 1$ :
   $$|f_n(x)| \sim 1 \cdot e^{-n x^2} \cdot |\cos(\sqrt{n}x)| \leq e^{-n x^2} \xrightarrow{n \to +\infty} 0$$
   La suite $(f_n)$ converge donc simplement vers la fonction $f$ définie par :
   $$\boxed{ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x = 0$$
   0 & \text{si } x \neq 0 \end{cases} }

2. Convergence uniforme sur $\mathbb{R$_+ :} Les fonctions $f_n$ sont continues sur $\mathbb{R}_+$ comme produits de fonctions continues. Si la convergence était uniforme sur $\mathbb{R}_+$, la limite simple $f$ serait continue sur $\mathbb{R}_+$. Or, $f$ est discontinue en 0 (la limite en $0^+$ est $0$ alors que $f(0)=1$). Conclusion :
   $$\boxed{ \text{La suite } (f_n) \text{ ne converge pas uniformément sur } \mathbb{R}_+. }$$

3. Convergence uniforme sur $[a, +\infty[$ : Soit $x \in [a, +\infty[$. Ici, la limite simple est $f = 0$. On étudie $|f_n(x) - 0| = \frac{n+2}{n+1} e^{-nx^2} |\cos(\sqrt{n}x)|$. Puisque $|\cos(\sqrt{n}x)| \leq 1$ et que la fonction $x \mapsto e^{-nx^2}$ est décroissante sur $[a, +\infty[$, on a :
   $$\forall x \geq a,   |f_n(x)| \leq \frac{n+2}{n+1} e^{-na^2}$$
   En notant $\|f_n\|_{\infty, [a, +\infty[}$ le supremum, on obtient :
   $$\boxed{ 0 \leq \|f_n\|_{\infty, [a, +\infty[} \leq \frac{n+2}{n+1} e^{-na^2} }$$
   Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{n+2}{n+1} e^{-na^2} = 1 \cdot 0 = 0$ (car $a^2 > 0$), par le théorème des gendarmes, le supremum tend vers 0. Ainsi, la suite $(f_n)$ converge uniformément vers 0 sur $[a, +\infty[$.