Série alternée de logarithmes et représentation intégrale

Résolution.

1. Étude de la régularité de $f$. Posons $u_n(t) = (-1)^{n-1} \ln \left(1 + \frac{t}{n}\right)$ pour $n \geq 1$ et $t \in [0, +\infty[$. Pour $t$ fixé, la suite $(\ln(1 + t/n))_{n \geq 1}$ est positive, décroissante et converge vers $0$. D'après le critère spécial des séries alternées, la série $\sum u_n(t)$ converge simplement sur $[0, +\infty[$. Les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, +\infty[$ avec :
   $$u_n'(t) = \frac{(-1)^{n-1}}{n+t}$$
   Pour tout $t \geq 0$, la suite $(1/(n+t))_{n \geq 1}$ est positive, décroissante et tend vers $0$. Le CSSA s'applique à la série des dérivées $\sum u_n'(t)$. Il fournit en outre une majoration du reste :
   $$\forall t \geq 0,   \left| \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k+t} \right| \leq \frac{1}{n+1+t} \leq \frac{1}{n+1}$$
   Cette majoration est indépendante de $t$, donc la série $\sum u_n'$ converge uniformément sur $[0, +\infty[$. Comme $\sum u_n$ converge en $0$ (somme nulle) et que $\sum u_n'$ converge uniformément sur $[0, +\infty[$, le théorème de dérivation des séries assure que $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $[0, +\infty[$ et :
   $$\forall x \geq 0,   \boxed{f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{x+n}}$$

2. Représentation intégrale de la dérivée. Utilisons la relation $\frac{1}{x+n} = \int_{0}^{1} t^{x+n-1}   \mathrm{d}t$ pour $x \geq 0$. On a :
   $$\sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n-1}}{x+n} = \sum_{n=1}^{N} \int_{0}^{1} (-1)^{n-1} t^{x+n-1}   \mathrm{d}t = \int_{0}^{1} t^x \sum_{k=0}^{N-1} (-t)^k   \mathrm{d}t$$
   En utilisant la somme des termes d'une suite géométrique :
   $$\sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n-1}}{x+n} = \int_{0}^{1} t^x \frac{1 - (-t)^N}{1+t}   \mathrm{d}t = \int_{0}^{1} \frac{t^x}{1+t}   \mathrm{d}t - \int_{0}^{1} \frac{(-t)^N t^x}{1+t}   \mathrm{d}t$$
   Estimons le reste :
   $$\left| \int_{0}^{1} \frac{(-t)^N t^x}{1+t}   \mathrm{d}t \right| \leq \int_{0}^{1} t^{N+x}   \mathrm{d}t = \frac{1}{N+x+1} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$$
   En passant à la limite quand $N \to +\infty$, on obtient :
   $$\boxed{f'(x) = \int_{0}^{1} \frac{t^{x}}{1+t}   \mathrm{d}t}$$

3. Équivalent en $0^+$. La fonction $f$ étant $\mathcal{C}^1$ en $0$, on a $f(x) = f(0) + x f'(0) + o(x)$. Or $f(0) = 0$ et :
   $$f'(0) = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t}   \mathrm{d}t = \left[ \ln(1+t) \right]_0^1 = \ln 2$$
   Comme $\ln 2 \neq 0$, on en déduit l'équivalent :
   $$\boxed{f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} x \ln 2}$$

4. Équivalent en $+\infty$. Cherchons d'abord un équivalent de $f'(x)$. Lorsque $x \to +\infty$, l'intégrale $\int_{0}^{1} \frac{t^x}{1+t}   \mathrm{d}t$ se concentre au voisinage de $1$. En $t=1$, la fonction $t \mapsto 1/(1+t)$ vaut $1/2$. Comparons $f'(x)$ à $\int_0^1 \frac{t^x}{2}   \mathrm{d}t = \frac{1}{2(x+1)}$ :
   $$\left| f'(x) - \frac{1}{2(x+1)} \right| = \left| \int_{0}^{1} t^x \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{2} \right)   \mathrm{d}t \right| = \int_{0}^{1} \frac{t^x(1-t)}{2(1+t)}   \mathrm{d}t$$
   On majore brutalement par $\frac{1}{2} \int_0^1 t^x(1-t)   \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) = \frac{1}{2(x+1)(x+2)} = O\left(\frac{1}{x^2}\right)$. Ainsi, $f'(x) = \frac{1}{2x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)$, d'où $f'(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{2x}$. Comme la fonction $x \mapsto \frac{1}{2x}$ est positive et de primitive divergente en $+\infty$, le théorème d'intégration des relations de comparaison s'applique :
   $$f(x) = f(1) + \int_{1}^{x} f'(t)   \mathrm{d}t \underset{x \to +\infty}{\sim} \int_{1}^{x} \frac{1}{2t}   \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \ln x$$
   L'équivalent est donc :
   $$\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{2} \ln x}$$