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Théorème de dérivation terme à terme

Le théorème de dérivation terme à terme donne des conditions pour que la somme S=∑fnS=\sum f_n d'une série de fonctions soit dérivable, avec S′=∑fn′S'=\sum f_n'. C'est l'outil standard pour étudier la régularité d'une fonction définie par une série : fonction zêta, fonction digamma, sommes de séries entières.

Au programmeDeuxième année (MP, MPI, PSI) · Suites et séries de fonctions

Énoncé

Théorème (dérivation terme à terme)

Soit II un intervalle de R\R et (fn)(f_n) une suite de fonctions de II dans K\K. On suppose :

  1. chaque fnf_n est de classe C1\mathcal{C}^1 sur II ;
  2. la série ∑fn\sum f_n converge simplement sur II ;
  3. la série ∑fn′\sum f_n' converge uniformément sur tout segment inclus dans II.

Alors S=∑n=0+∞fnS=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n est de classe C1\mathcal{C}^1 sur II, la série ∑fn\sum f_n converge uniformément sur tout segment de II, et

S′=∑n=0+∞fn′.S'=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n'.

Version Ck\mathcal{C}^k (k≥1k\ge1). Si chaque fnf_n est de classe Ck\mathcal{C}^k, si ∑fn(j)\sum f_n^{(j)} converge simplement sur II pour 0≤j≤k−10\le j\le k-1 et si ∑fn(k)\sum f_n^{(k)} converge uniformément sur tout segment de II, alors SS est de classe Ck\mathcal{C}^k sur II et S(j)=∑n=0+∞fn(j)S^{(j)}=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n^{(j)} pour 0≤j≤k0\le j\le k.

Démonstration

On fixe a∈Ia\in I et on note SN=∑n=0NfnS_N=\sum_{n=0}^N f_n, TN=∑n=0Nfn′T_N=\sum_{n=0}^N f_n' et T=∑n=0+∞fn′T=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n'.

Continuité de TT. Tout point xx de II possède un voisinage dans II qui est un segment J⊂IJ\subset I. Sur JJ, TT est limite uniforme des fonctions continues TNT_N, donc TT est continue en xx.

Relation intégrale. Pour x∈Ix\in I, le théorème fondamental de l'analyse donne SN(x)=SN(a)+∫axTN(t) dtS_N(x)=S_N(a)+\int_a^xT_N(t)\,\dd t. Sur le segment d'extrémités aa et xx,

∣∫axTN(t) dt−∫axT(t) dt∣≤∣x−a∣sup⁡[a,x]∣TN−T∣→N→+∞0\left|\int_a^x T_N(t)\,\dd t-\int_a^x T(t)\,\dd t\right|\le|x-a|\sup_{[a,x]}|T_N-T|\xrightarrow[N\to+\infty]{}0

(avec [x,a][x,a] si x<ax<a). En faisant N→+∞N\to+\infty, on obtient S(x)=S(a)+∫axT(t) dtS(x)=S(a)+\int_a^x T(t)\,\dd t. Comme TT est continue, SS est de classe C1\mathcal{C}^1 et S′=TS'=T.

Convergence uniforme sur un segment. Soit J=[α,β]⊂IJ=[\alpha,\beta]\subset I ; quitte à le remplacer par [min⁡(α,a),max⁡(β,a)]⊂I[\min(\alpha,a),\max(\beta,a)]\subset I, on suppose a∈Ja\in J. Pour tout x∈Jx\in J,

∣SN(x)−S(x)∣≤∣SN(a)−S(a)∣+(β−α)sup⁡J∣TN−T∣,|S_N(x)-S(x)|\le|S_N(a)-S(a)|+(\beta-\alpha)\sup_J|T_N-T|,

majorant indépendant de xx qui tend vers 00.

Version Ck\mathcal{C}^k. On applique le cas C1\mathcal{C}^1 à la série ∑fn(k−1)\sum f_n^{(k-1)} : sa somme est C1\mathcal{C}^1 de dérivée ∑fn(k)\sum f_n^{(k)}, et elle converge uniformément sur tout segment. On peut donc appliquer le cas C1\mathcal{C}^1 à ∑fn(k−2)\sum f_n^{(k-2)}, et ainsi de suite jusqu'à ∑fn\sum f_n.

Méthode : quand et comment l'utiliser

Pour montrer que S=∑fnS=\sum f_n est de classe C1\mathcal{C}^1 sur II :

  1. calculer fn′f_n' ;
  2. majorer sup⁡∣fn′∣\sup|f_n'| sur des segments [α,β]⊂I[\alpha,\beta]\subset I, ou sur des intervalles [α,+∞[[\alpha,+\infty[ qui contiennent tout segment de II : une convergence normale sur ces intervalles suffit ;
  3. si la convergence n'est pas normale (série alternée), majorer le reste par le critère spécial des séries alternées pour obtenir la convergence uniforme.

La dérivabilité étant une propriété locale, travailler sur tout segment (ou sur [α,+∞[[\alpha,+\infty[ pour tout α>0\alpha>0) évite les difficultés au bord de II.

Exemples d'application

La fonction zêta est de classe C∞\mathcal{C}^\infty sur ]1,+∞[]1,+\infty[

Soit fn(s)=n−s=e−sln⁡nf_n(s)=n^{-s}=e^{-s\ln n} pour n≥1n\ge1 et s>1s>1. Pour tout k≥0k\ge0, fn(k)(s)=(−ln⁡n)k n−sf_n^{(k)}(s)=(-\ln n)^k\,n^{-s}. Fixons α>1\alpha>1. Pour s≥αs\ge\alpha,

∣fn(k)(s)∣≤(ln⁡n)knα=o(1n(1+α)/2),|f_n^{(k)}(s)|\le\frac{(\ln n)^k}{n^{\alpha}}=o\left(\frac{1}{n^{(1+\alpha)/2}}\right),

avec 1+α2>1\frac{1+\alpha}{2}>1 : la série ∑fn(k)\sum f_n^{(k)} converge normalement sur [α,+∞[[\alpha,+\infty[, donc uniformément sur tout segment de ]1,+∞[]1,+\infty[. Toutes les séries dérivées convergeant simplement, la version Ck\mathcal{C}^k s'applique pour tout kk : ζ\zeta est de classe C∞\mathcal{C}^\infty et

ζ(k)(s)=∑n=1+∞(−ln⁡n)kns.\zeta^{(k)}(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-\ln n)^k}{n^s}.

En particulier ζ′(s)=−∑n≥2ln⁡nns<0\zeta'(s)=-\sum_{n\ge2}\frac{\ln n}{n^s}<0 : ζ\zeta est strictement décroissante sur ]1,+∞[]1,+\infty[.

Somme de ∑n e−nx\sum n\,e^{-nx}

Pour x>0x>0, ∑n≥0e−nx=11−e−x\sum_{n\ge0}e^{-nx}=\frac{1}{1-e^{-x}}. Avec fn(x)=e−nxf_n(x)=e^{-nx}, on a fn′(x)=−n e−nxf_n'(x)=-n\,e^{-nx} et, pour x≥α>0x\ge\alpha>0, ∣fn′(x)∣≤n e−nα|f_n'(x)|\le n\,e^{-n\alpha}, terme général d'une série convergente. La série des dérivées converge donc normalement sur [α,+∞[[\alpha,+\infty[ pour tout α>0\alpha>0, mais pas uniformément sur ]0,+∞[]0,+\infty[, car sup⁡x>0n e−nx=n\sup_{x>0}n\,e^{-nx}=n. On en déduit, pour x>0x>0,

∑n=0+∞n e−nx=−ddx(11−e−x)=e−x(1−e−x)2.\sum_{n=0}^{+\infty}n\,e^{-nx}=-\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{1}{1-e^{-x}}\right)=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}.

Erreurs classiques

  • Se contenter de la convergence uniforme de ∑fn\sum f_n : elle ne donne pas la dérivabilité. La suite gn(x)=x2+1ng_n(x)=\sqrt{x^2+\frac1n} (n≥1n\ge1) converge uniformément vers ∣x∣|x| sur R\R, car 0≤gn(x)−∣x∣≤1n0\le g_n(x)-|x|\le\frac{1}{\sqrt n}, alors que chaque gng_n est C1\mathcal{C}^1 et que ∣x∣|x| n'est pas dérivable en 00 (pour une série, prendre f1=g1f_1=g_1 et fn=gn−gn−1f_n=g_n-g_{n-1}).

  • Exiger la convergence uniforme de ∑fn′\sum f_n' sur II tout entier : elle est souvent fausse (exemple de ∑n e−nx\sum n\,e^{-nx} sur ]0,+∞[]0,+\infty[), alors que la convergence uniforme sur tout segment suffit.

  • Dériver terme à terme sans rien vérifier : ∑sin⁡(nx)n\sum\frac{\sin(nx)}{n} converge simplement sur R\R, mais la série dérivée ∑cos⁡(nx)\sum\cos(nx) diverge en tout point, car cos⁡(nx)\cos(nx) ne tend pas vers 00.

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Suites et séries de fonctions ».

Le théorème et sa version Ck\mathcal{C}^k sont au programme de deuxième année. Il se démontre à partir du théorème fondamental de l'analyse et du passage à la limite uniforme dans une intégrale sur un segment.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Suites et séries de fonctions (403 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Questions fréquentes

Qu'appelle-t-on dérivation terme à terme ?

C'est l'égalité (∑fn)′=∑fn′\left(\sum f_n\right)'=\sum f_n'. Elle est vraie sous les hypothèses du théorème : fnf_n de classe C1\mathcal{C}^1, convergence simple de ∑fn\sum f_n, convergence uniforme de ∑fn′\sum f_n' sur tout segment de II.

La convergence simple de la série est-elle indispensable ?

La démonstration montre qu'il suffit que ∑fn\sum f_n converge en un point aa de II : la relation SN(x)=SN(a)+∫axTNS_N(x)=S_N(a)+\int_a^xT_N donne alors la convergence en tout point de II.

Peut-on dériver terme à terme une série entière ?

Oui : sur ]−R,R[]-R,R[, la série dérivée a le même rayon RR et converge normalement sur tout segment [−r,r][-r,r] avec r<Rr<R. La somme est de classe C∞\mathcal{C}^\infty sur ]−R,R[]-R,R[ et se dérive terme à terme.

Exercices corrigés utilisant : Théorème de dérivation terme à terme

7 exercices

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