Le théorème de Borel

Résolution.

1. Construction de la fonction plateau. Considérons d'abord la fonction $g$ définie par $g(t) = \exp(-1/t)$ si $t > 0$ et $g(t) = 0$ sinon. On sait classiquement que $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. Posons ensuite $h(x) = g(x-1/2)g(1-x)$. Cette fonction est $\mathcal{C}^\infty$, positive, de support exactement $[1/2, 1]$. Sa primitive $H(x) = \int_{-\infty}^x h(t)   dt$ est $\mathcal{C}^\infty$, nulle sur $]-\infty, 1/2]$ et constante égale à $I = \int_{1/2}^1 h(t)   dt > 0$ sur $[1, +\infty[$. En posant $\psi(x) = 1 - \frac{1}{I}H(x)$, on obtient une fonction $\mathcal{C}^\infty$ valant $1$ sur $]-\infty, 1/2]$ et $0$ sur $[1, +\infty[$. Par parité, la fonction $f(x) = \psi(|x|)$ (convenablement lissée ou définie par morceaux) convient. Plus simplement :
   $$\boxed{ f(x) = \psi(x)\psi(-x) }$$
   Cette fonction $f$ est $\mathcal{C}^\infty$, vaut $1$ sur $[-1/2, 1/2]$ et son support est inclus dans $[-1, 1]$.

2. Étude de la fonction $u$.
   1. Soit $u_n(x) = c_n f\left(\frac{x}{t_n}\right) \frac{x^n}{n!}$. Chaque $u_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ comme produit et composée de fonctions $\mathcal{C}^\infty$. Fixons $k \in \mathbb{N}$. Pour $n \geq k$, calculons $u_n^{(k)}(x)$ par la formule de Leibniz :
      $$u_n^{(k)}(x) = \frac{c_n}{n!} \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} \left( x^n \right)^{(j)} \left( f\left(\frac{x}{t_n}\right) \right)^{(k-j)}$$
      $$u_n^{(k)}(x) = c_n \sum_{j=0}^k \frac{1}{(n-j)!} x^{n-j} \frac{1}{t_n^{k-j}} f^{(k-j)}\left(\frac{x}{t_n}\right)$$
      Le support de $x \mapsto f(x/t_n)$ est inclus dans $[-t_n, t_n]$. Ainsi, $u_n^{(k)}(x)$ est nul si $|x| > t_n$. Pour $|x| \leq t_n$, on a l'inégalité $|x|^{n-j} \leq t_n^{n-j}$. Comme $n \geq k \geq j$, on a :
      $$\left| \frac{x^{n-j}}{t_n^{k-j}} \right| \leq \frac{t_n^{n-j}}{t_n^{k-j}} = t_n^{n-k}$$
      D'où :
      $$|u_n^{(k)}(x)| \leq |c_n| \sum_{j=0}^k \frac{1}{(n-j)!} t_n^{n-k} \|f^{(k-j)}\|_\infty$$
      Comme $|c_n| t_n \leq 1$ par définition de $t_n$ et $t_n \leq 1$ (donc $t_n^{n-k-1} \leq 1$ pour $n > k$), il vient :
      $$|u_n^{(k)}(x)| \leq \sum_{j=0}^k \frac{\|f^{(k-j)}\|_\infty}{(n-j)!}$$
      Cette majoration est indépendante de $x$ et constitue le terme général d'une série convergente (car $\sum \frac{1}{(n-j)!}$ converge). Ainsi, la série $\sum u_n^{(k)}$ converge normalement, donc uniformément sur $\mathbb{R}$. Par le théorème de dérivation des séries de fonctions, $u$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ et :
      $$\boxed{ \forall k \in \mathbb{N},   u^{(k)}(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n^{(k)}(x) }$$

   2. Calculons $u^{(k)}(0)$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_n(x) = c_n \frac{x^n}{n!}$ pour $x$ dans un voisinage de $0$ (précisément quand $|x/t_n| \leq 1/2$, soit $|x| \leq t_n/2$). Dès lors, $u_n^{(k)}(0)$ est égal à la dérivée $k$-ième de $c_n \frac{x^n}{n!}$ en $0$. On sait que :
      $$\left( \frac{x^n}{n!} \right)^{(k)} (0) = \delta_{n,k}   (\text{symbole de Kronecker})$$
      Par sommation, il vient :
      $$u^{(k)}(0) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \delta_{n,k} = c_k$$
      Ce qui conclut :
      $$\boxed{ \forall n \in \mathbb{N},   u^{(n)}(0) = c_n }$$