Topologie du groupe linéaire et des matrices singulières

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère l'espace vectoriel $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ muni d'une norme quelconque (toutes les normes sont équivalentes en dimension finie). On note $GL_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices inversibles et $\mathcal{S} = \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \setminus GL_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices singulières.

Montrer que $GL_n(\mathbb{R})$ est un ouvert de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .
Établir que $GL_n(\mathbb{R})$ est dense dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .
L'ensemble $\mathcal{S}$ est-il compact ? On distinguera le cas $n=1$ du cas $n \geq 2$ .

1.

Utiliser la continuité de l'application déterminant comme fonction polynomiale des coefficients.

2.

Pour la densité, considérer le polynôme caractéristique d'une matrice $A$ et étudier ses racines.

3.

Pour la compacité, s'intéresser au caractère borné ou non de l'ensemble $\mathcal{S}$ en utilisant la stabilité par multiplication par un scalaire.

Idées clés

•

Continuité du déterminant (caractérisation séquentielle ou polynomiale).

•

Propriétés des polynômes : un polynôme non nul possède un nombre fini de racines.

•

Définition de la compacité en dimension finie (fermé borné).

Résolution.

Soit l'application $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}$ . Le déterminant d'une matrice est une somme finie de produits des coefficients de la matrice (formule de Leibniz). C'est donc une fonction polynomiale des $n^2$ coefficients de la matrice. Toute fonction polynomiale sur un espace de dimension finie est continue. Ainsi, $\det$ est continue sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . L'ensemble $GL_n(\mathbb{R})$ est défini par : $GL_n(\mathbb{R}) = \{ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid \det(A) \neq 0 \} = \det^{-1} \left( \mathbb{R}^* \right)$ Comme $\mathbb{R}^*$ est un ouvert de $\mathbb{R}$ et que l'application $\det$ est continue, par caractérisation des fonctions continues, l'image réciproque de $\mathbb{R}^*$ est un ouvert de $E$ . $\boxed{GL_n(\mathbb{R}) \text{ est un ouvert de } \mathcal{M}_n(\mathbb{R})}$
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Considérons le polynôme caractéristique de $A$ défini par : $P_A(x) = \det(A - x I_n)$ $P_A$ est un polynôme de degré $n$ en $x$ . Ce n'est pas le polynôme nul puisque son terme de plus haut degré est $(-1)^n x^n$ . Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines distinctes dans $\mathbb{R}$ . Par conséquent, il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $x \in ]0, \delta[$ , $P_A(x) \neq 0$ . Ceci implique que pour tout $k$ suffisamment grand (tel que $1/k < \delta$ ), la matrice $A_k = A - \frac{1}{k} I_n$ est inversible car : $\det(A_k) = P_A\left(\frac{1}{k}\right) \neq 0$ La suite de matrices $(A_k)$ appartient donc à $GL_n(\mathbb{R})$ et converge vers $A$ quand $k \to +\infty$ puisque : $\| A - A_k \| = \left\| \frac{1}{k} I_n \right\| = \frac{1}{k} \| I_n \| \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0$ Tout élément de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est limite d'une suite d'éléments de $GL_n(\mathbb{R})$ . $\boxed{GL_n(\mathbb{R}) \text{ est dense dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{R})}$
Étudions la compacité de l'ensemble $\mathcal{S} = \{ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 0 \}$ . Cas $n = 1$ : Dans ce cas, $\mathcal{M}_1(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}$ et $\det(a) = a$ . L'ensemble $\mathcal{S}$ est le singleton $\{0\}$ . $\boxed{\text{Pour } n=1, \mathcal{S} \text{ est compact (car c'est un singleton).}}$ Cas $n \geq 2$ : Considérons la matrice $E_{1,1} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients sont nuls sauf celui à la première ligne et première colonne qui vaut 1. Comme $n \geq 2$ , la matrice $E_{1,1}$ possède au moins une ligne nulle (la deuxième par exemple), donc $\det(E_{1,1}) = 0$ . Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ , on a $\det(\lambda E_{1,1}) = \lambda^n \det(E_{1,1}) = 0$ . Par conséquent, l'ensemble $\mathcal{S}$ contient toutes les matrices de la forme $\lambda E_{1,1}$ pour $\lambda \in \mathbb{R}$ . L'ensemble $\mathcal{S}$ contient une droite vectorielle, il n'est donc pas borné. Comme tout compact en dimension finie est nécessairement borné, $\mathcal{S}$ n'est pas compact. $\boxed{\text{Pour } n \geq 2, \mathcal{S} \text{ n'est pas compact.}}$

Oublier de vérifier le caractère borné pour la compacité ou négliger le cas n=1.

GLn(R) est un ouvert dense de Mn(R). Son complémentaire n'est pas compact car non borné pour n >= 2.