Calcul de sommes de séries télescopiques

Résolution.

1. Étude de la série $\sum \operatorname{Arctan$(2/n^2).} On remarque que pour tout $n \geq 1$ :
   $$\frac{2}{n^2} = \frac{(n+1) - (n-1)}{1 + (n-1)(n+1)}$$
   En utilisant la formule $\operatorname{Arctan} A - \operatorname{Arctan} B = \operatorname{Arctan} \frac{A-B}{1+AB}$ (valable ici car $(n+1)(n-1) \geq 0 > -1$), on obtient :
   $$u_n = \operatorname{Arctan}(n+1) - \operatorname{Arctan}(n-1)$$
   Notons $S_N$ la somme partielle d'ordre $N$. Par télescopage :
   $$S_N = \sum_{n=1}^N \left( \operatorname{Arctan}(n+1) - \operatorname{Arctan}(n-1) \right)$$
   En développant les premiers et derniers termes :
   $$S_N = \operatorname{Arctan}(N+1) + \operatorname{Arctan}(N) - \operatorname{Arctan}(1) - \operatorname{Arctan}(0)$$
   Comme $\lim_{N \to \infty} \operatorname{Arctan}(N) = \frac{\pi}{2}$, on en déduit que la série converge et :
   $$S = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - 0$$
   $$\boxed{ \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Arctan} \left( \frac{2}{n^2} \right) = \frac{3\pi}{4} }$$

2. Étude de la série trigonométrique. On utilise la décomposition $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$. Le numérateur devient :
   $$\sin\left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \sin\left(\frac{1}{n}\right)\cos\left(\frac{1}{n+1}\right) - \sin\left(\frac{1}{n+1}\right)\cos\left(\frac{1}{n}\right)$$
   En divisant par le dénominateur $\cos(1/n)\cos(1/(n+1))$, on obtient :
   $$u_n = \tan\left( \frac{1}{n} \right) - \tan\left( \frac{1}{n+1} \right)$$
   Il s'agit d'une série télescopique de la forme $v_n - v_{n+1}$ avec $v_n = \tan(1/n)$. La somme partielle est $S_N = v_1 - v_{N+1} = \tan(1) - \tan(1/(N+1))$. Puisque $\tan(1/(N+1)) \to 0$ quand $N \to \infty$ :
   $$\boxed{ \sum_{n=1}^{\infty} u_n = \tan(1) }$$

3. Étude de la série avec produit. Posons $v_n = \frac{\sqrt{n!}}{\prod_{k=1}^n (1+\sqrt{k})}$ pour $n \geq 1$, et $v_0 = 1$. On a alors pour $n \geq 1$ :
   $$v_{n-1} - v_n = \frac{\sqrt{(n-1)!}}{\prod_{k=1}^{n-1} (1+\sqrt{k})} - \frac{\sqrt{n!}}{\prod_{k=1}^n (1+\sqrt{k})}$$
   $$v_{n-1} - v_n = \frac{\sqrt{(n-1)!}}{\prod_{k=1}^n (1+\sqrt{k})} \left[ (1+\sqrt{n}) - \sqrt{n} \right] = u_n$$
   La somme partielle est $S_N = \sum_{n=1}^N (v_{n-1} - v_n) = v_0 - v_N = 1 - v_N$. Étudions la limite de $v_N$. On a $v_N = \prod_{k=1}^N \frac{\sqrt{k}}{1+\sqrt{k}} = \prod_{k=1}^N \left( 1 - \frac{1}{1+\sqrt{k}} \right)$. En passant au logarithme : $\ln v_N = \sum_{k=1}^N \ln \left( 1 - \frac{1}{1+\sqrt{k}} \right)$. Comme $\ln(1 - \frac{1}{1+\sqrt{k}}) \sim - \frac{1}{\sqrt{k}}$ et que la série $\sum \frac{1}{\sqrt{k}}$ diverge, $\ln v_N \to -\infty$, donc $v_N \to 0$.
   $$\boxed{ \sum_{n=1}^{\infty} u_n = 1 }$$

4. Étude de la série hyperbolique. On utilise l'identité $\operatorname{th} y = \operatorname{coth} y - \frac{1}{\operatorname{sh} y \operatorname{ch} y} = \operatorname{coth} y - \frac{2}{\operatorname{sh}(2y)}$. Ou mieux : $\operatorname{coth} y + \operatorname{th} y = \frac{\operatorname{ch}^2 y + \operatorname{sh}^2 y}{\operatorname{sh} y \operatorname{ch} y} = \frac{\operatorname{ch}(2y)}{\frac{1}{2} \operatorname{sh}(2y)} = 2 \operatorname{coth}(2y)$. D'où $\operatorname{th} y = 2 \operatorname{coth}(2y) - \operatorname{coth} y$. En posant $y = \frac{x}{2^n}$, on obtient :
   $$u_n = 2^{-n} \left( 2 \operatorname{coth}\left( \frac{x}{2^{n-1}} \right) - \operatorname{coth}\left( \frac{x}{2^n} \right) \right) = \frac{1}{2^{n-1}} \operatorname{coth}\left( \frac{x}{2^{n-1}} \right) - \frac{1}{2^n} \operatorname{coth}\left( \frac{x}{2^n} \right)$$
   Soit $w_n = 2^{-n} \operatorname{coth}(x/2^n)$. On a $u_n = w_{n-1} - w_n$ pour $n \geq 1$. La somme de $n=0$ à $N$ est :
   $$S_N = u_0 + \sum_{n=1}^N (w_{n-1} - w_n) = \operatorname{th} x + w_0 - w_N = \operatorname{th} x + \operatorname{coth} x - w_N$$
   Or $\operatorname{th} x + \operatorname{coth} x = 2 \operatorname{coth}(2x)$. De plus :
   $$w_N = \frac{1}{2^N \operatorname{th}(x/2^N)} \sim \frac{1}{2^N (x/2^N)} = \frac{1}{x}$$
   Finalement, la somme vaut :
   $$\boxed{ \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \operatorname{th}\left( \frac{x}{2^n} \right) = \frac{2}{\operatorname{th}(2x)} - \frac{1}{x} }$$