Série du logarithme d'une somme partielle

On considère la suite $(s_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par les sommes partielles de la série harmonique alternée :

s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}

On définit alors la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ par le terme général :

u_{n} = \ln \left(e^{s_{n}}-1\right)

Étudier la nature de la série de terme général $u_n$ .

1.

Commencer par déterminer la limite de $s_n$ pour s'assurer que $u_n$ est bien défini pour $n$ assez grand et tend vers 0.

2.

Introduire le reste $r_n = \ln 2 - s_n$ et utiliser ses propriétés (signe alterné, décroissance du module).

3.

Effectuer un développement asymptotique de $u_n$ à l'ordre 2 en fonction de $r_n$ .

4.

Conclure sur la convergence en étudiant séparément les termes du développement.

•

Utilisation du reste d'une série alternée : $r_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$ .

•

Développement limité de la fonction exponentielle et du logarithme au voisinage de 0.

•

Critère spécial des séries alternées (CSSA) pour la convergence de $\sum r_n$ .

Étape 1 : Étude de la limite de $u_n$ .

Il est classique que la série harmonique alternée converge vers $\ln 2$ :

\lim_{n \to +\infty} s_n = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \ln 2

Par continuité des fonctions exponentielle et logarithme, on en déduit :

\lim_{n \to +\infty} u_n = \ln(e^{\ln 2} - 1) = \ln(2-1) = 0

La condition nécessaire de convergence est donc vérifiée.

Étape 2 : Introduction du reste $r_n$ .

Posons $r_n = \ln 2 - s_n$ . On peut exprimer ce reste sous forme intégrale :

\ln 2 = \int_0^1 \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t   \text{et}   s_n = \int_0^1 \frac{1 - (-t)^n}{1+t} \mathrm{d}t

On obtient ainsi :

r_n = \int_0^1 \frac{(-t)^n}{1+t} \mathrm{d}t = (-1)^n \int_0^1 \frac{t^n}{1+t} \mathrm{d}t

Soit $v_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1+t} \mathrm{d}t$ . On vérifie aisément que :

$v_n \geq 0$ pour tout $n$ .
$(v_n)$ est décroissante car $t^{n+1} \leq t^n$ sur $[0, 1]$ .
$v_n \to 0$ par le théorème de convergence dominée (ou par encadrement $0 \leq v_n \leq \frac{1}{n+1}$ ).

D'après le critère spécial des séries alternées, la série $\sum (-1)^n v_n$ converge.

\boxed{\sum r_n \text{ est convergente.}}

Étape 3 : Développement asymptotique de $u_n$ .

On écrit $s_n = \ln 2 - r_n$ . Alors :

e^{s_n} = e^{\ln 2} e^{-r_n} = 2 e^{-r_n}

Utilisons le développement limité de $e^x$ au voisinage de $0$ :

e^{-r_n} = 1 - r_n + \frac{1}{2}r_n^2 + o(r_n^2)

On en déduit :

e^{s_n} - 1 = 2 \left( 1 - r_n + \frac{1}{2}r_n^2 + o(r_n^2) \right) - 1 = 1 - 2r_n + r_n^2 + o(r_n^2)

Appliquons maintenant le développement limité de $\ln(1+X)$ avec $X = -2r_n + r_n^2 + o(r_n^2)$ :

u_n = \ln(1 - 2r_n + r_n^2 + o(r_n^2)) = (-2r_n + r_n^2) - \frac{1}{2}(-2r_n + r_n^2)^2 + o(r_n^2)

En simplifiant les termes d'ordre supérieur à 2 :

u_n = -2r_n + r_n^2 - \frac{1}{2}(4r_n^2) + o(r_n^2)

\boxed{u_n = -2r_n - r_n^2 + o(r_n^2)}

Étape 4 : Conclusion sur la nature de la série.

$\sum (-2r_n)$ converge d'après l'étude précédente (série alternée).
On sait que $v_n \sim \frac{1}{2n}$ (par intégration par parties ou convergence dominée sur $n v_n$ ), donc $r_n^2 \sim \frac{1}{4n^2}$ .
La série $\sum r_n^2$ converge donc absolument par comparaison avec une série de Riemann.
Le reste du développement $w_n = o(r_n^2)$ est tel que $\sum w_n$ converge absolument.

Par somme de séries convergentes :

\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ est convergente.}}

Nécessité d'un développement à l'ordre 2 pour les séries semi-convergentes.

Passage par le reste r_n pour les études de séries dépendant de sommes partielles convergentes.