Convergence d'une série harmonique amputée

On considère l'ensemble $\mathcal{S}$ des entiers naturels non nuls dont l'écriture décimale ne contient jamais le chiffre $5$ .

L'objectif de cet exercice est d'étudier la nature de la série $\sum_{n \in \mathcal{S}} \frac{1}{n}$ .

Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , on note $A_k = \mathcal{S} \cap \llbracket 10^k, 10^{k+1}-1 \rrbracket$ l'ensemble des éléments de $\mathcal{S}$ possédant exactement $k+1$ chiffres.

Déterminer, pour tout $k \in \mathbb{N}$ , le cardinal de l'ensemble $A_k$ .
En déduire une majoration de la somme partielle de bloc $S_k = \sum_{n \in A_k} \frac{1}{n}$ .
Démontrer que la série $\sum_{n \in \mathcal{S}} \frac{1}{n}$ est convergente.

1.

Pour dénombrer $A_k$ , utiliser le principe multiplicatif : dénombrer les choix possibles pour le premier chiffre (à gauche), puis pour les $k$ chiffres suivants.

2.

Pour majorer $S_k$ , remarquer que pour tout $n \in A_k$ , on a $n \geq 10^k$ , donc $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{10^k}$ .

3.

La série est à termes positifs. La convergence peut s'obtenir en montrant que la suite des sommes partielles est majorée, ou en utilisant le critère de convergence des séries à termes positifs par sommation par blocs.

Idées clés

•

Dénombrement par le principe multiplicatif.

•

Majoration grossière des termes d'un bloc par le plus petit élément du bloc.

•

Convergence des séries géométriques de raison strictement inférieure à 1.

Résolution.

Soit $k \in \mathbb{N}$ $k \in N$ . Un entier $n$ $n$ appartient à $A_k$ $A_{k}$ s'il possède $k+1$ $k + 1$ chiffres et qu'aucun de ses chiffres n'est un $5$ $5$ . Analysons les choix possibles pour chaque position :
- Pour le premier chiffre (le plus à gauche), il y a 8 choix possibles : $\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$ . On exclut le $0$ (car l'entier a exactement $k+1$ chiffres) et le $5$ .
- Pour chacun des $k$ chiffres restants, il y a 9 choix possibles : $\{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$ . On exclut uniquement le $5$ .
Par principe multiplicatif, on en déduit :
$\boxed{\text{card}(A_k) = 8 \times 9^k}$
Soit $n \in A_k$ . Par définition de $A_k$ , on a $10^k \leq n \leq 10^{k+1}-1$ . En passant à l'inverse, on obtient : $\forall n \in A_k, \frac{1}{n} \leq \frac{1}{10^k}$ On peut alors majorer la somme $S_k$ par le produit du nombre de termes et de la borne supérieure des termes : $S_k = \sum_{n \in A_k} \frac{1}{n} \leq \text{card}(A_k) \times \frac{1}{10^k}$ En remplaçant par la valeur trouvée à la question précédente : $S_k \leq 8 \times 9^k \times \frac{1}{10^k}$ On obtient finalement la majoration : $\boxed{S_k \leq 8 \times \left(\frac{9}{10}\right)^k}$
La série $\sum_{n \in \mathcal{S}} \frac{1}{n}$ est une série à termes positifs. Pour montrer sa convergence, il suffit de montrer que la suite de ses sommes partielles est majorée. Notons $N$ un entier naturel. Il existe $K$ tel que tous les entiers de $\mathcal{S}$ inférieurs ou égaux à $N$ soient inclus dans l'union disjointe $\bigcup_{k=0}^K A_k$ . On a alors : $\sum_{\substack{n \in \mathcal{S} n \leq N}} \frac{1}{n} \leq \sum_{k=0}^K S_k$ En utilisant la majoration de la question 2 : $\sum_{k=0}^K S_k \leq \sum_{k=0}^K 8 \times \left(\frac{9}{10}\right)^k$ On reconnaît une somme géométrique de raison $q = 0,9$ . Comme $|q| < 1$ , la série géométrique converge. On peut même majorer par la somme infinie : $\sum_{k=0}^K S_k \leq 8 \times \frac{1}{1 - 0,9} = 8 \times \frac{1}{0,1} = 80$ La suite des sommes partielles de la série $\sum_{n \in \mathcal{S}} \frac{1}{n}$ est croissante et majorée par 80. $\boxed{\text{La série } \sum_{n \in \mathcal{S}} \frac{1}{n} \text{ converge.}}$

Croire que la série reste divergente car on ne retire qu'un seul chiffre.

Utiliser le regroupement par nombre de chiffres (blocs de puissances de 10) pour les problèmes liés à l'écriture décimale.