Convergence d'une série alternée paramétrée

Soient $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2}$ . On considère la suite $(u_n)_{n \geq 2}$ définie par :

u_{n} = (-1)^{n} n^{\alpha} \left( \ln \frac{n+1}{n-1} \right)^{\beta}

Déterminer, selon les valeurs des paramètres réels $\alpha$ et $\beta$ , la nature de la série $\sum u_n$ (divergence, convergence simple ou convergence absolue).

1.

Effectuer un développement asymptotique du terme général $u_n$ à l'aide d'un développement limité du logarithme.

2.

Étudier la convergence absolue en utilisant les séries de Riemann.

3.

Pour la convergence simple, séparer le terme principal (série alternée) du reste de l'expansion.

4.

Ne pas oublier d'étudier la condition nécessaire de convergence ( $u_n \to 0$ ).

Idées clés

•

Développement asymptotique pour l'étude des séries à termes quelconques.

•

Utilisation du Critère Spécial des Séries Alternées (CSSA).

•

Comparaison aux séries de Riemann pour la convergence absolue.

Résolution.

Développement asymptotique du terme général.
Commençons par exprimer l'argument du logarithme sous une forme propice au développement limité :
$\frac{n+1}{n-1} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{1}{n}}$
En utilisant les développements limités usuels de $\ln(1+x)$ au voisinage de $0$ :
$\ln\left(\frac{1+1/n}{1-1/n}\right) = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) - \ln\left(1-\frac{1}{n}\right)$

$\ln\left(\frac{n+1}{n-1}\right) = \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{3n^3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right) \right) - \left( -\frac{1}{n} - \frac{1}{3n^3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right) \right)$

$\ln\left(\frac{n+1}{n-1}\right) = \frac{2}{n} + \frac{2}{3n^3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right) = \frac{2}{n} \left( 1 + \frac{1}{3n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \right)$
En élevant à la puissance $\beta$ , nous obtenons :
$\left( \ln \frac{n+1}{n-1} \right)^{\beta} = \frac{2^{\beta}}{n^{\beta}} \left( 1 + \frac{\beta}{3n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \right)$
D'où l'expression de $u_n$ :
$u_n = (-1)^n \frac{2^\beta}{n^{\beta-\alpha}} \left( 1 + \frac{\beta}{3n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \right)$
Étude de la convergence selon les paramètres.
Nous pouvons maintenant décomposer $u_n$ en deux termes :
$u_n = \underbrace{(-1)^n \frac{2^\beta}{n^{\beta-\alpha}}}_{v_n} + \underbrace{(-1)^n \frac{\beta 2^\beta}{3n^{\beta-\alpha+2}} + o\left(\frac{1}{n^{\beta-\alpha+2}}\right)}_{w_n}$
Cas 1 : $\beta - \alpha \leq 0$ On observe que $|u_n| \sim \frac{2^\beta}{n^{\beta-\alpha}}$ . Si $\beta - \alpha \leq 0$ , alors $|u_n|$ ne tend pas vers $0$ (il tend vers $2^\beta > 0$ ou vers $+\infty$ ).
$\boxed{\text{Si } \beta \leq \alpha, \text{ la série diverge grossièrement.}}$
Cas 2 : $\beta - \alpha > 1$ On a $|u_n| \sim \frac{2^\beta}{n^{\beta-\alpha}}$ . D'après le critère de Riemann, puisque $\beta - \alpha > 1$ , la série $\sum |u_n|$ converge.
$\boxed{\text{Si } \beta > \alpha + 1, \text{ la série converge absolument.}}$
Cas 3 : $0 < \beta - \alpha \leq 1$ Étudions la convergence des deux parties $v_n$ et $w_n$ :
- $\sum v_n$ est une série alternée de la forme $\sum (-1)^n a_n$ avec $a_n = \frac{2^\beta}{n^{\beta-\alpha}}$ . Comme $\beta - \alpha > 0$ , la suite $(a_n)$ décroît vers $0$ . D'après le Critère Spécial des Séries Alternées (CSSA), $\sum v_n$ converge.
- Pour le reste $w_n$ , on a $w_n = O\left(\frac{1}{n^{\beta-\alpha+2}}\right)$ . Comme $\beta - \alpha + 2 > 2$ , la série $\sum w_n$ est absolument convergente.
En tant que somme de deux séries convergentes, $\sum u_n$ $\sum u_{n}$ converge. Cependant, elle n'est pas absolument convergente car $|u_n| \sim \frac{2^\beta}{n^{\beta-\alpha}}$ $∣ u_{n} ∣ \sim \frac{2 ^{β}}{n ^{β - α}}$ avec $\beta-\alpha \leq 1$ $β - α \leq 1$ (série de Riemann divergente).
$\boxed{\text{Si } \alpha < \beta \leq \alpha + 1, \text{ la série converge (semi-convergence).}}$

Utiliser l'équivalence pour conclure sur une série alternée sans vérifier la convergence absolue ou le signe constant du reste.

Décomposition par développement asymptotique pour prouver la convergence simple.