Somme de série et intégrales de Wallis

L'objectif de cet exercice est de déterminer la nature et la valeur de la somme :

S = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{2 n}}\binom{2 n}{n}

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on pose $I_n = \int_{0}^{\pi / 2} \cos^{n} t \mathrm{d} t$ . Exprimer le terme général $u_n = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{n}$ en fonction de $I_{2n}$ .
En utilisant la structure de somme géométrique sous le signe intégral, démontrer la convergence de la série et calculer la valeur de $S$ .

1.

Utiliser la formule classique de l'intégrale de Wallis : $I_{2n} = \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} \frac{\pi}{2}$ .

2.

Écrire la somme partielle $S_N$ comme une intégrale en utilisant la linéarité, puis simplifier la somme de la progression géométrique de raison $-\cos^2 t$ .

3.

Pour le calcul de l'intégrale finale, effectuer le changement de variable $u = \tan t$ après avoir divisé le numérateur et le dénominateur par $\cos^2 t$ .

Idées clés

•

Lien entre coefficients binomiaux centraux et intégrales de Wallis.

•

Interversion somme-intégrale via les sommes partielles (série géométrique).

•

Calcul d'intégrale de fraction rationnelle en $\cos t$ .

Résolution.

Rappelons la valeur des intégrales de Wallis pour les indices pairs. Par intégration par parties ou par formule de récurrence, on établit classiquement que : $I_{2n} = \int_{0}^{\pi / 2} \cos^{2n} t \mathrm{d}t = \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} \frac{\pi}{2}$
On reconnaît le coefficient binomial au numérateur, ce qui permet d'écrire :
$I_{2n} = \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}} \frac{\pi}{2}$
On en déduit l'expression du terme général de la série :
$\boxed{ \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{n} = \frac{2}{\pi} I_{2n} }$
Soit $N \in \mathbb{N}$ . Notons $S_N = \sum_{n=0}^{N} \frac{(-1)^n}{2^{2n}} \binom{2n}{n}$ la somme partielle de la série (en incluant le premier terme $1$ pour $n=0$ ). En utilisant la relation précédente et la linéarité de l'intégrale, on obtient : $S_N = \sum_{n=0}^{N} (-1)^n \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi / 2} \cos^{2n} t \mathrm{d} t = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi / 2} \left( \sum_{n=0}^{N} (-\cos^{2} t)^n \right) \mathrm{d} t$
La somme à l'intérieur de l'intégrale est une progression géométrique de raison $q = -\cos^2 t$ . Puisque $t \in [0, \pi/2]$ , on a $\cos^2 t \in [0, 1]$ , donc $q \neq 1$ . La formule de la somme donne :
$S_N = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1 - (-\cos^2 t)^{N+1}}{1 + \cos^2 t} \mathrm{d} t$
Par linéarité, on sépare l'intégrale en deux parties :
$S_N = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\mathrm{d} t}{1 + \cos^2 t} - \frac{2}{\pi} R_N \text{avec} R_N = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{(-\cos^2 t)^{N+1}}{1 + \cos^2 t} \mathrm{d} t$
Montrons que le reste $R_N$ tend vers $0$ . On a la majoration suivante pour tout $t \in [0, \pi/2]$ :
$\left| \frac{(-\cos^2 t)^{N+1}}{1 + \cos^2 t} \right| \leq \cos^{2N+2} t$
En intégrant cette inégalité, on obtient :
$|R_N| \leq \int_{0}^{\pi / 2} \cos^{2N+2} t \mathrm{d} t = I_{2N+2}$
Comme la suite des intégrales de Wallis $(I_n)$ converge vers $0$ , on en déduit par encadrement que $\lim_{N \to +\infty} R_N = 0$ . La série converge donc et sa somme vaut :
$S = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\mathrm{d} t}{1 + \cos^2 t}$
Pour calculer cette intégrale, on divise le numérateur et le dénominateur par $\cos^2 t$ (pour $t \in [0, \pi/2[$ ) :
$\frac{1}{1 + \cos^2 t} = \frac{\frac{1}{\cos^2 t}}{\frac{1}{\cos^2 t} + 1} = \frac{1 + \tan^2 t}{2 + \tan^2 t}$
En posant le changement de variable $u = \tan t$ , on a $\mathrm{d}u = (1 + \tan^2 t) \mathrm{d}t$ . Les bornes deviennent $0$ et $+\infty$ :
$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\mathrm{d} t}{1 + \cos^2 t} = \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} u}{2 + u^2} = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) \right]_{0}^{+\infty} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$
Finalement :
$S = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\boxed{ S = \frac{\sqrt{2}}{2} }$

Justification de la convergence par l'étude du reste intégral plutôt que l'interversion brute.

Représentation intégrale du coefficient binomial central.