Divergence d'une série par comparaison logarithmique

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positive, strictement décroissante et convergeant vers $0$ .

On définit, pour tout entier naturel $n$ , le terme général suivant :

v_n = \frac{u_n - u_{n+1}}{u_n}

Déterminer la nature de la série $\sum v_n$ .

1.

Commencer par examiner le cas où le terme général $v_n$ ne converge pas vers $0$ .

2.

Si $v_n$ converge vers $0$ , chercher un équivalent simple de $v_n$ faisant intervenir un logarithme pour exploiter la structure de série télescopique.

Idées clés

•

Analyse de la convergence brute (divergence grossière).

•

Utilisation des développements limités pour obtenir un équivalent.

•

Lien entre sommes et logarithmes via les séries télescopiques.

Résolution.

On commence par remarquer que, puisque la suite $(u_n)$ est strictement décroissante, on a $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$ .

Ceci implique que $u_n - u_{n+1} > 0$ , et comme $u_n > 0$ , on en déduit que :

\forall n \in \mathbb{N},   v_n > 0

La série est donc à termes strictement positifs. Pour étudier sa convergence, nous allons distinguer deux configurations selon le comportement de $(v_n)$ .

Premier cas : la suite $(v_n)$ ne converge pas vers $0$ .

Si $v_n \not\to 0$ , alors la série diverge immédiatement par la condition nécessaire de convergence.

\boxed{\text{Si } v_n \not\to 0, \text{ la série } \sum v_n \text{ diverge grossièrement.}}

Second cas : la suite $(v_n)$ converge vers $0$ .

Supposons maintenant que $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$ .

On peut réécrire le terme général sous la forme :

v_n = 1 - \frac{u_{n+1}}{u_n}

Puisque $v_n \to 0$ , on en déduit que le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ tend vers $1$ .

On utilise alors le développement limité classique de la fonction logarithme au voisinage de $1$ : $\ln(x) \sim x-1$ quand $x \to 1$ .

En posant $x = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ , on obtient :

\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right) \sim \frac{u_{n+1}}{u_n} - 1 = -v_n

Ce qui nous donne l'équivalent suivant :

v_n \sim -\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right) = \ln(u_n) - \ln(u_{n+1})

Posons $w_n = \ln(u_n) - \ln(u_{n+1})$ . La série $\sum w_n$ est une série télescopique.

Calculons sa somme partielle $S_N = \sum_{n=0}^N w_n$ :

S_N = \sum_{n=0}^N \left( \ln(u_n) - \ln(u_{n+1}) \right) = \ln(u_0) - \ln(u_{N+1})

Par hypothèse, la suite $(u_n)$ tend vers $0$ par valeurs strictement positives.

Ainsi, on a :

\lim_{N \to +\infty} \ln(u_{N+1}) = -\infty

On en déduit le comportement de la somme partielle :

\lim_{N \to +\infty} S_N = +\infty

La série $\sum w_n$ diverge donc vers $+\infty$ .

Comme $v_n \sim w_n$ et que ce sont des séries à termes positifs, par le théorème de comparaison des séries, on conclut que la série $\sum v_n$ diverge.

\boxed{\sum v_n \text{ est une série divergente.}}

Oublier de vérifier la convergence du terme général vers zéro avant d'utiliser un équivalent.

L'équivalent $\ln(u_n/u_{n+1})$ permet souvent de ramener l'étude d'une série à celle d'une suite via le télescopage.