Limite d'une série alternée et convexité

Soit $f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^0$ sur $\mathbb{R}_+$ , convexe, et vérifiant $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ .

Soit $h > 0$ . Justifier la convergence de la série $\sum_{n \ge 0} (-1)^n f(nh)$ . On note $S(h) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n f(nh)$ la somme de cette série.
Déterminer la limite de $S(h)$ lorsque $h$ tend vers $0^+$ .

1.

Commencer par montrer que la convexité de $f$ jointe à sa limite nulle en $+\infty$ impose la décroissance et la positivité de $f$ . Appliquer ensuite le critère spécial des séries alternées.

2.

Pour la limite, transformer l'expression de $S(h)$ en faisant apparaître $f(0)/2$ . On pourra considérer la quantité $2S(h) - f(0)$ et montrer qu'elle s'exprime comme une série alternée dont on contrôlera la somme.

Idées clés

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Propriétés des fonctions convexes (pente des cordes, sens de variation).

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Théorème spécial des séries alternées (TSCSA) et majoration du reste/somme.

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Transformation de sommes pour isoler une valeur limite.

Résolution.

Étude des variations de $f$ . Soit $f$ une fonction convexe sur $\mathbb{R}_+$ telle que $\lim_{+\infty} f = 0$ . Montrons que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$ . Supposons par l'absurde qu'il existe $0 \le a < b$ tels que $f(a) < f(b)$ . Par convexité, pour tout $x > b$ , le point $(x, f(x))$ est au-dessus de la sécante passant par $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ . On a donc : $f(x) \ge f(b) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - b)$ Comme $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} > 0$ , le membre de droite tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$ . Ceci contredit l'hypothèse $\lim_{+\infty} f = 0$ . Ainsi, $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$ . Puisqu'elle tend vers $0$ , elle est nécessairement positive. Convergence de la série. Pour $h > 0$ fixé, posons $u_n = f(nh)$ . La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante car $f$ est décroissante et $h > 0$ . De plus, $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ . D'après le critère spécial des séries alternées (TSCSA), la série $\sum (-1)^n f(nh)$ converge. $\boxed{ \text{La série } \sum_{n \ge 0} (-1)^n f(nh) \text{ est convergente.} }$
Calcul de la limite de $S(h)$ . Considérons la somme $S(h) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n f(nh)$ . Utilisons une astuce de sommation pour isoler $f(0)/2$ : $2S(h) - f(0) = f(0) + 2 \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n f(nh)$ En réécrivant les termes, on observe que : $2S(h) - f(0) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n f(nh) - \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n f((n+1)h)$ $2S(h) - f(0) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \left( f(nh) - f((n+1)h) \right)$ Posons $v_n(h) = f(nh) - f((n+1)h)$ . Comme $f$ est décroissante, $v_n(h) \ge 0$ . Comme $f$ est convexe, la fonction $x \mapsto f(x) - f(x+h)$ est décroissante. En effet, pour $x < y$ , le taux d'accroissement de $f$ est croissant : $\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \le \frac{f(y+h) - f(y)}{h}$ donc $f(x) - f(x+h) \ge f(y) - f(y+h)$ . Ainsi, pour $h > 0$ fixé, la suite $(v_n(h))_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante et tend vers $0$ . La série $\sum (-1)^n v_n(h)$ vérifie le TSCSA. Sa somme $T(h)$ est encadrée par ses deux premières sommes partielles : $0 \le T(h) \le v_0(h)$ D'où : $0 \le 2S(h) - f(0) \le f(0) - f(h)$ Par continuité de $f$ en $0$ , on a $\lim_{h \to 0^+} (f(0) - f(h)) = 0$ . Par le théorème des gendarmes : $\lim_{h \to 0^+} (2S(h) - f(0)) = 0$ On en déduit finalement : $\boxed{ \lim_{h \to 0^2} S(h) = \frac{f(0)}{2} }$

Oublier de prouver que f est décroissante à partir de la convexité et de la limite à l'infini.

La transformation $2S - u_0 = \sum (-1)^n (u_n - u_{n+1})$ pour l'étude fine des séries alternées.