Série associée à une suite récurrente

On considère la suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par la donnée de $u_0 \in [-2, +\infty[$ et par la relation de récurrence suivante :

\forall n \in \mathbb{N},   u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}

Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ , puis déterminer la nature de la série de terme général $w_n = u_n - 2$ .

1.

Commencer par déterminer les points fixes de la fonction $f(x) = \sqrt{x+2}$ pour identifier la limite possible de la suite.

2.

Étudier la convergence de $(u_n)$ en montrant qu'elle est bien définie et en utilisant le caractère contractant ou l'étude des variations.

3.

Effectuer un développement limité de la relation de récurrence autour de la limite pour obtenir un équivalent de $u_n - 2$ ou utiliser une règle de comparaison de séries.

Idées clés

•

Recherche du point fixe de $f(x) = \sqrt{x+2}$ .

•

Étude de la convergence de la suite vers ce point fixe.

•

Linéarisation (développement limité) de la relation de récurrence au voisinage du point fixe.

•

Application du critère de d'Alembert pour les séries numériques.

1. Étude de la convergence de la suite $(u_n)$

La fonction $f : x \mapsto \sqrt{x+2}$ est définie, continue et croissante sur $[-2, +\infty[$ . L'intervalle $I = [-2, +\infty[$ est stable par $f$ car $f(-2) = 0 \in I$ .

Cherchons les points fixes de $f$ sur $I$ :

\sqrt{x+2} = x \iff x^2 = x + 2   \text{et}   x \ge 0

L'équation $x^2 - x - 2 = 0$ admet pour racines $x_1 = 2$ et $x_2 = -1$ . Le seul point fixe positif est donc $2$ .

Si $u_0 = 2$ , alors la suite est constante égale à $2$ . Si $u_0 \in [-2, 2[$ , on montre par récurrence que la suite est croissante et majorée par 2. Si $u_0 > 2$ , on montre par récurrence que la suite est décroissante et minorée par 2.

Dans tous les cas, la suite $(u_n)$ converge vers l'unique point fixe attractif :

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} u_n = 2 }

2. Nature de la série de terme général $w_n = u_n - 2$

Posons $w_n = u_n - 2$ . Nous avons $w_n \to 0$ quand $n \to +\infty$ . Étudions la relation entre $w_{n+1}$ et $w_n$ :

w_{n+1} = u_{n+1} - 2 = \sqrt{w_n + 2 + 2} - 2 = \sqrt{w_n + 4} - 2

On factorise par 4 sous la racine pour effectuer un développement limité :

w_{n+1} = 2 \sqrt{1 + \frac{w_n}{4}} - 2

Comme $w_n \to 0$ , on utilise le développement $\sqrt{1+t} = 1 + \frac{1}{2}t + O(t^2)$ au voisinage de 0 :

w_{n+1} = 2 \left( 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{w_n}{4} + O(w_n^2) \right) - 2

On obtient ainsi l'équivalent suivant :

w_{n+1} = \frac{w_n}{4} + O(w_n^2) \implies w_{n+1} \sim \frac{1}{4} w_n

3. Conclusion par le critère de d'Alembert

Si $u_0 = 2$ , alors $w_n = 0$ pour tout $n$ , et la série converge trivialement.

Si $u_0 \neq 2$ , alors $w_n$ ne s'annule jamais. D'après l'équivalent précédent, le rapport des termes consécutifs vérifie :

\left| \frac{w_{n+1}}{w_n} \right| \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{4}

Comme cette limite est strictement inférieure à 1, le critère de d'Alembert s'applique. La série $\sum |w_n|$ converge.

\boxed{ \text{La série } \sum (u_n - 2) \text{ est absolument convergente.} }

Vérifier la convergence de la suite vers le point fixe avant de linéariser.

La nature de la série $\sum (u_n - \ell)$ dépend de $f'(\ell)$ lorsque $u_{n+1}=f(u_n)$ .