Somme d'une série alternée par intégration

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_n = \frac{(-1)^n}{4n+1}$ .

Démontrer la convergence de la série $\sum u_n$ .
À l'aide d'une représentation intégrale du terme $\frac{1}{4n+1}$ , exprimer la somme de cette série sous la forme d'une intégrale définie.
Calculer la valeur exacte de cette somme.

1.

Pour la convergence, utiliser le critère spécial des séries alternées.

2.

Remarquer que $\frac{1}{4n+1} = \int_0^1 t^{4n} dt$ et utiliser la somme d'une suite géométrique.

3.

Pour l'intégrale, décomposer $1/(1+t^4)$ en éléments simples dans $\mathbb{R}[X]$ en utilisant l'identité $t^4+1 = (t^2+1)^2 - 2t^2$ .

Idées clés

•

Critère Spécial des Séries Alternées (CSSA).

•

Lien entre sommes de séries et intégrales via les séries géométriques.

•

Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle.

Résolution.

La suite $(\frac{1}{4n+1})_{n \ge 0}$ est positive, décroissante et tend vers $0$ quand $n \to +\infty$ . D'après le critère spécial des séries alternées (CSSA), on en déduit immédiatement : $\boxed{\text{La série } \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{4n+1} \text{ converge.}}$
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $\frac{1}{4n+1} = \int_{0}^{1} t^{4n} dt$ . Notons $S_N$ la somme partielle d'ordre $N$ : $S_N = \sum_{n=0}^{N} (-1)^n \int_{0}^{1} t^{4n} dt = \int_{0}^{1} \left( \sum_{n=0}^{N} (-t^4)^n \right) dt$
En utilisant la formule de la somme géométrique :
$S_N = \int_{0}^{1} \frac{1 - (-t^4)^{N+1}}{1 + t^4} dt = \int_{0}^{1} \frac{dt}{1 + t^4} - (-1)^{N+1} \int_{0}^{1} \frac{t^{4N+4}}{1 + t^4} dt$
Étudions le reste $R_N = \int_{0}^{1} \frac{t^{4N+4}}{1 + t^4} dt$ . Pour tout $t \in [0,1]$ , on a $0 \le \frac{t^{4N+4}}{1+t^4} \le t^{4N+4}$ . Par intégration :
$0 \le |R_N| \le \int_{0}^{1} t^{4N+4} dt = \frac{1}{4N+5}$
Comme $\frac{1}{4N+5} \to 0$ , le reste tend vers $0$ par encadrement. Ainsi :
$\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{4n+1} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{1 + t^4}}$
Pour calculer $I = \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+t^4}$ , décomposons la fraction. On a : $t^4 + 1 = (t^2+1)^2 - 2t^2 = (t^2 - \sqrt{2}t + 1)(t^2 + \sqrt{2}t + 1)$
La décomposition en éléments simples donne :
$\frac{1}{1+t^4} = \frac{1}{4} \left( \frac{\sqrt{2}t + 2}{t^2 + \sqrt{2}t + 1} - \frac{\sqrt{2}t - 2}{t^2 - \sqrt{2}t + 1} \right)$
On sépare chaque terme pour faire apparaître la forme $u'/u$ et une forme en $\arctan$ . Pour le premier bloc :
$\frac{\sqrt{2}t + 2}{t^2 + \sqrt{2}t + 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(2t + \sqrt{2}) + 1}{(t + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{1}{2}}$
L'intégration donne après calculs :
$\int \frac{dt}{1+t^4} = \frac{\sqrt{2}}{8} \ln\left| \frac{t^2 + \sqrt{2}t + 1}{t^2 - \sqrt{2}t + 1} \right| + \frac{\sqrt{2}}{4} \left( \arctan(\sqrt{2}t + 1) + \arctan(\sqrt{2}t - 1) \right)$
En évaluant entre $0$ et $1$ :
$I = \frac{\sqrt{2}}{8} \ln\left( \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \right) + \frac{\sqrt{2}}{4} \left( \arctan(\sqrt{2}+1) + \arctan(\sqrt{2}-1) \right)$
On simplifie $\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{(2+\sqrt{2})^2}{2} = 3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$ . De plus, $\arctan(x) + \arctan(1/x) = \pi/2$ pour $x > 0$ . Comme $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 1$ , la somme des arctangentes vaut $\pi/2$ .
D'où le résultat final :
$\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{4n+1} = \frac{\sqrt{2}}{4} \ln(\sqrt{2}+1) + \frac{\pi\sqrt{2}}{8}}$

Omission de la preuve de convergence du reste avant de passer à l'intégrale de la limite.

Utilisation de l'identité 1/(an+b) = intégrale de t^(an+b-1) pour transformer une somme en intégrale.