Transformation de restes de séries

Soit $\sum a_n$ une série convergente dont les termes $a_n$ sont des réels positifs ou nuls pour $n \in \mathbb{N}^*$ . On définit, pour tout entier $k \in \mathbb{N}$ , le terme général $v_k$ par la relation :

v_k = (k+1) \sum_{n=k+1}^{+\infty} \frac{a_n}{n(n+1)}

Justifier la convergence de la série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{a_n}{n(n+1)}$ .
Étudier la nature de la série $\sum v_k$ . En cas de convergence, exprimer sa somme en fonction de celle de la série $\sum a_n$ .

1.

Pour la question 1, utiliser une comparaison simple avec le terme général $a_n$ ou exploiter le fait que $(a_n)$ est bornée.

2.

Pour la question 2, exprimer les sommes partielles de la série $\sum v_k$ et procéder à une interversion de sommation (sommation par paquets ou théorème de Fubini pour les séries à termes positifs).

3.

Analyser avec soin le comportement du reste de la sommation après l'interversion.

Idées clés

•

Comparaison de séries à termes positifs.

•

Interversion de sommes (Fubini pour les familles sommables positives).

•

Majoration fine du reste d'une série.

Résolution.

Puisque la série $\sum a_n$ converge, son terme général $a_n$ tend vers $0$ . En particulier, la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est bornée par un réel $M > 0$ . On en déduit la majoration suivante : $\forall n \in \mathbb{N}^*, 0 \leqslant \frac{a_n}{n(n+1)} \leqslant \frac{M}{n^2}$ Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, par théorème de comparaison des séries à termes positifs, la série $\sum \frac{a_n}{n(n+1)}$ converge absolument, donc converge. $\boxed{\text{La série } \sum_{n \geqslant 1} \frac{a_n}{n(n+1)} \text{ est convergente.}}$
Notons $S_N = \sum_{k=0}^N v_k$ $S_{N} = \sum_{k = 0}^{N} v_{k}$ la somme partielle d'ordre $N$ $N$ de la série étudiée. Par définition de $v_k$ $v_{k}$ , nous avons :
$S_N = \sum_{k=0}^N (k+1) \sum_{n=k+1}^{+\infty} \frac{a_n}{n(n+1)}$
Comme tous les termes sont positifs, nous pouvons intervertir les sommes (ou décomposer la somme infinie). Pour $k \in \{0, \dots, N\}$ $k \in {0, \dots, N}$ , l'indice $n$ $n$ parcourt $[k+1, +\infty[$ $[k + 1, + \infty [$ . Cela équivaut à dire que :
- Si $1 \leqslant n \leqslant N$ , alors $k$ varie de $0$ à $n-1$ .
- Si $n > N$ , alors $k$ varie de $0$ à $N$ .
On peut donc écrire $S_N$ $S_{N}$ sous la forme :
$S_N = \sum_{n=1}^N \left( \sum_{k=0}^{n-1} (k+1) \right) \frac{a_n}{n(n+1)} + \sum_{n=N+1}^{+\infty} \left( \sum_{k=0}^N (k+1) \right) \frac{a_n}{n(n+1)}$
Calculons les sommes intérieures. On sait que $\sum_{k=0}^{m} (k+1) = \frac{(m+1)(m+2)}{2}$ $\sum_{k = 0}^{m} (k + 1) = \frac{( m + 1 ) ( m + 2 )}{2}$ . Ainsi :
- Pour la première partie : $\sum_{k=0}^{n-1} (k+1) = \frac{n(n+1)}{2}$ .
- Pour la seconde partie : $\sum_{k=0}^{N} (k+1) = \frac{(N+1)(N+2)}{2}$ .
En injectant ces résultats dans l'expression de $S_N$ $S_{N}$ :
$S_N = \sum_{n=1}^N \frac{n(n+1)}{2} \frac{a_n}{n(n+1)} + \frac{(N+1)(N+2)}{2} \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{a_n}{n(n+1)}$
Ce qui se simplifie en :
$S_N = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N a_n + \frac{(N+1)(N+2)}{2} \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{a_n}{n(n+1)}$
Étudions le second terme, noté $R_N$ $R_{N}$ . Pour tout $n \geqslant N+1$ $n ⩾ N + 1$ , on a l'inégalité $n(n+1) \geqslant (N+1)(N+2)$ $n (n + 1) ⩾ (N + 1) (N + 2)$ . Par conséquent :
$0 \leqslant \frac{(N+1)(N+2)}{n(n+1)} \leqslant 1$
On en déduit la majoration suivante :
$0 \leqslant \frac{(N+1)(N+2)}{2} \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{a_n}{n(n+1)} \leqslant \frac{1}{2} \sum_{n=N+1}^{+\infty} a_n$
Or, $\sum a_n$ $\sum a_{n}$ est une série convergente, donc son reste d'ordre $N$ $N$ tend vers $0$ $0$ quand $N \to +\infty$ $N \to + \infty$ . Par le théorème des gendarmes, le terme $R_N$ $R_{N}$ tend vers $0$ $0$ . En passant à la limite dans l'expression de $S_N$ $S_{N}$ , on obtient :
$\lim_{N \to +\infty} S_N = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n$

$\boxed{\sum_{k=0}^{+\infty} v_k = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n}$

Intervertir les sommes infinies sans justification ou négliger la majoration du reste.

La méthode d'inversion des symboles de sommation pour transformer des expressions contenant des restes.