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Racines de polynômes et séries numériques

racinesrécurrence linéairepériodicitécritère d'Abeldéveloppement asymptotiqueSommes de NewtonAbelRelations racines-coefficients

On considère le polynôme P=X3−X−1P = X^3 - X - 1 dans C[X]\mathbb{C}[X].

  1. Justifier que PP admet une unique racine réelle, notée α\alpha, et deux racines complexes non réelles, notées β\beta et γ\gamma. Préciser le module de β\beta et γ\gamma par rapport à α\alpha.
  2. Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on définit un=αn+βn+γnu_n = \alpha^n + \beta^n + \gamma^n.
    1. Établir une relation de récurrence linéaire vérifiée par la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}.
    2. Montrer que, pour tout nn, unu_n est un entier.
    3. On pose vnv_n le reste de la division euclidienne de unu_n par 4. Démontrer que la suite (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}} est périodique.

  3. Déterminer la nature des séries numériques suivantes :
    ∑n≥1sin⁡(π2un)net∑n≥1cos⁡(π2un)n\sum_{n \ge 1} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} u_{n}\right)}{n}   \text{et}   \sum_{n \ge 1} \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} u_{n}\right)}{n}

  4. En déduire la nature des séries :
    ∑n≥1sin⁡(π2αn)net∑n≥1cos⁡(π2αn)n\sum_{n \ge 1} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} \alpha^{n}\right)}{n}   \text{et}   \sum_{n \ge 1} \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} \alpha^{n}\right)}{n}

1.

Pour la question 1, étudier les variations de la fonction associée sur R\mathbb{R} et utiliser les relations entre racines et coefficients.

2.

Pour la question 2, remarquer que les racines de PP annulent X3−X−1X^3 - X - 1 pour obtenir la relation un+3=un+1+unu_{n+3} = u_{n+1} + u_n.

3.

Pour la question 3, utiliser le critère d'Abel (ou une sommation par parties) pour les séries dont le numérateur est périodique.

4.

Pour la question 4, effectuer un développement limité en exploitant le fait que ∣β∣<1|\beta| < 1 et ∣γ∣<1|\gamma| < 1.

Idées clés

•

Sommes de Newton et récurrences linéaires.

•

Périodicité dans les corps finis (ici Z/4Z\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}).

•

Transformation d'Abel pour les séries à numérateur périodique.

•

Comparaison de séries par développement asymptotique.

1. Analyse des racines du polynôme.

Considérons f(x)=x3−x−1f(x) = x^3 - x - 1. Sa dérivée f′(x)=3x2−1f'(x) = 3x^2 - 1 s'annule en ±13\pm \frac{1}{\sqrt{3}}. L'étude des variations montre que ff est strictement croissante sur ]1/3,+∞[]1/\sqrt{3}, +\infty[. Comme f(1)=−1<0f(1) = -1 < 0 et f(2)=5>0f(2) = 5 > 0, le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'une unique racine réelle α∈]1,2[\alpha \in ]1, 2[.

Les deux autres racines β\beta et γ\gamma sont conjuguées. D'après les relations entre racines et coefficients :

αβγ=1  ⟹  ∣β∣2=1α\alpha \beta \gamma = 1 \implies |\beta|^2 = \frac{1}{\alpha}

Puisque α>1\alpha > 1, on en déduit immédiatement :

∣β∣=∣γ∣=1α<1\boxed{|\beta| = |\gamma| = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} < 1}

2. Étude de la suite (un)(u_n).

(a) Chaque racine λ∈{α,β,γ}\lambda \in \{\alpha, \beta, \gamma\} vérifie λ3−λ−1=0\lambda^3 - \lambda - 1 = 0, donc λn+3=λn+1+λn\lambda^{n+3} = \lambda^{n+1} + \lambda^n. En sommant ces trois relations, on obtient :

un+3=un+1+un\boxed{u_{n+3} = u_{n+1} + u_n}

(b) On calcule les premiers termes : u0=1+1+1=3u_0 = 1+1+1 = 3, u1=α+β+γ=0u_1 = \alpha+\beta+\gamma = 0 (car il n'y a pas de terme en X2X^2), et u2=(∑α)2−2∑αβ=0−2(−1)=2u_2 = (\sum \alpha)^2 - 2\sum \alpha\beta = 0 - 2(-1) = 2. Comme u0,u1,u2∈Zu_0, u_1, u_2 \in \mathbb{Z} et que la relation de récurrence est à coefficients entiers, par récurrence immédiate, un∈Zu_n \in \mathbb{Z} pour tout nn.

(c) La suite vn=un(mod4)v_n = u_n \pmod 4 suit la même récurrence dans Z/4Z\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}. Le nombre d'états possibles pour un triplet (vn,vn+1,vn+2)(v_n, v_{n+1}, v_{n+2}) est fini (43=644^3 = 64). Par principe des tiroirs, la suite des triplets finit par boucher, ce qui implique la périodicité. En calculant les termes modulo 4 : v0=3,v1=0,v2=2,v3=3,v4=2,v5=1,v6=1,v7=3,v8=2,v9=0,v10=1,v11=2,v12=1,v13=3,v14=3,v15=0,v16=2…v_0=3, v_1=0, v_2=2, v_3=3, v_4=2, v_5=1, v_6=1, v_7=3, v_8=2, v_9=0, v_{10}=1, v_{11}=2, v_{12}=1, v_{13}=3, v_{14}=3, v_{15}=0, v_{16}=2\dots On retrouve le triplet (v1,v2,v3)=(0,2,3)(v_1, v_2, v_3) = (0, 2, 3) au rang n=15n=15. La suite est périodique de période T=14T=14 à partir de n=1n=1.

3. Nature des séries en unu_n.

Soit cn=sin⁡(π2un)c_n = \sin(\frac{\pi}{2} u_n). Comme un∈Zu_n \in \mathbb{Z}, cn=sin⁡(π2vn)c_n = \sin(\frac{\pi}{2} v_n). La suite (cn)(c_n) est périodique de période 14. Une série ∑cnn\sum \frac{c_n}{n} converge si et seulement si la somme sur une période est nulle : ∑k=114ck=0\sum_{k=1}^{14} c_k = 0. Calculons les valeurs de cnc_n sur une période n∈⟦1,14⟧n \in \llbracket 1, 14 \rrbracket : vnv_n : 0,2,3,2,1,1,3,2,0,1,2,1,3,30, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 3, 3. cn=sin⁡(π2vn)c_n = \sin(\frac{\pi}{2} v_n) : 0,0,−1,0,1,1,−1,0,0,1,0,1,−1,−10, 0, -1, 0, 1, 1, -1, 0, 0, 1, 0, 1, -1, -1. La somme vaut 0+0−1+0+1+1−1+0+0+1+0+1−1−1=00+0-1+0+1+1-1+0+0+1+0+1-1-1 = 0.

∑sin⁡(π2un)n converge.\boxed{\sum \frac{\sin(\frac{\pi}{2} u_n)}{n} \text{ converge.}}

Pour dn=cos⁡(π2un)d_n = \cos(\frac{\pi}{2} u_n), les valeurs sont : 1,−1,0,−1,0,0,0,−1,1,0,−1,0,0,01, -1, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 1, 0, -1, 0, 0, 0. La somme sur une période est 1−1−1−1+1−1=−2≠01-1-1-1+1-1 = -2 \neq 0.

∑cos⁡(π2un)n diverge (vers −∞).\boxed{\sum \frac{\cos(\frac{\pi}{2} u_n)}{n} \text{ diverge (vers −∞-\infty).}}

4. Nature des séries en αn\alpha^n.

Posons δn=βn+γn\delta_n = \beta^n + \gamma^n. On a un=αn+δnu_n = \alpha^n + \delta_n. Comme ∣β∣=∣γ∣<1|\beta| = |\gamma| < 1, δn\delta_n tend vers 0 géométriquement. Utilisons l'identité sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b :

sin⁡(π2αn)=sin⁡(π2(un−δn))=sin⁡(π2un)cos⁡(π2δn)−cos⁡(π2un)sin⁡(π2δn)\sin\left(\frac{\pi}{2} \alpha^n\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} (u_n - \delta_n)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} u_n\right) \cos\left(\frac{\pi}{2} \delta_n\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2} u_n\right) \sin\left(\frac{\pi}{2} \delta_n\right)

En effectuant un développement limité quand n→+∞n \to +\infty :

sin⁡(π2αn)n=sin⁡(π2un)n+O(δnn)\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} \alpha^n\right)}{n} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} u_n\right)}{n} + O\left(\frac{\delta_n}{n}\right)
Le terme O(δn/n)O(\delta_n / n) est le terme général d'une série absolument convergente car δn\delta_n décroit exponentiellement. Par somme de deux séries convergentes :
∑sin⁡(π2αn)n converge.\boxed{\sum \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} \alpha^n\right)}{n} \text{ converge.}}

Pour le cosinus :

cos⁡(π2αn)n=cos⁡(π2un)ncos⁡(π2δn)+sin⁡(π2un)nsin⁡(π2δn)=cos⁡(π2un)n+O(δnn)\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} \alpha^n\right)}{n} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} u_n\right)}{n} \cos\left(\frac{\pi}{2} \delta_n\right) + \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} u_n\right)}{n} \sin\left(\frac{\pi}{2} \delta_n\right) = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} u_n\right)}{n} + O\left(\frac{\delta_n}{n}\right)
Comme ∑cos⁡(π2un)n\sum \frac{\cos(\frac{\pi}{2} u_n)}{n} diverge et que le reste converge :
∑cos⁡(π2αn)n diverge.\boxed{\sum \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} \alpha^n\right)}{n} \text{ diverge.}}

La convergence d'une série à numérateur périodique dépend de la nullité de la somme sur une période.

Passer par une suite d'entiers (somme de puissances de racines) pour étudier des fonctions de racines réelles.