Développements asymptotiques et séries

Résolution.

1. Posons $x = \frac{1}{n^a}$. Comme $a>0$, $x \to 0$. On a :
   $$\frac{1}{1+n^a} = \frac{x}{1+x} = x - x^2 + o(x^2)$$
   En utilisant le DL de $\operatorname{asin}(h) = h + o(h^2)$, on obtient :
   $$u_n = (x - x^2) - x + o(x^2) = -x^2 + o(x^2) \sim -\frac{1}{n^{2a}}$$
   La série converge si et seulement si $2a > 1$.
   $$\boxed{\text{Convergence ssi } a > 1/2}$$

2. Développons l'argument du cosinus :
   $$n^2 \pi \ln(1 - 1/n) = n^2 \pi \left( -\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} - \frac{1}{3n^3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right) \right) = -n\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$$
   Par parité et périodicité du cosinus :
   $$u_n = \cos\left(n\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3n} + o(1/n)\right) = (-1)^n \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3n} + o(1/n)\right)$$
   D'après la formule $\cos(\pi/2 + h) = -\sin(h)$, on a :
   $$u_n = (-1)^{n+1} \sin\left(\frac{\pi}{3n} + o(1/n)\right) = \frac{(-1)^{n+1}\pi}{3n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$
   C'est la somme d'un terme de série alternée convergente et d'un terme de série absolument convergente.
   $$\boxed{\text{La série converge}}$$

3. Écrivons $u_n = \exp\left( n^\alpha \ln(\cos(1/\ln n)) \right)$. Comme $\ln(\cos h) = \ln(1 - h^2/2 + o(h^2)) = -h^2/2 + o(h^2)$, on a :
   $$n^\alpha \ln(\cos(1/\ln n)) \sim - \frac{n^\alpha}{2(\ln n)^2}$$
   Si $\alpha > 0$, l'argument tend vers $-\infty$, donc $u_n \to 0$ très vite. Si $\alpha = 0$, $u_n \to 1$ (diverge grossièrement). Si $\alpha < 0$, $u_n \to 1$ (diverge grossièrement). En réalité, pour $\alpha > 0$, $u_n = o(1/n^2)$ par croissance comparée.
   $$\boxed{\text{Convergence ssi } \alpha > 0}$$

4. L'argument est $A_n = n\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{a\pi}{2n} + \frac{b\pi}{2n^2}$.
   $$u_n = (-1)^n \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{a\pi}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) = (-1)^{n+1} \sin\left(\frac{a\pi}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)$$
   Si $a \neq 0$, $u_n \sim \frac{(-1)^{n+1} a\pi}{2n}$. La série converge par le critère des séries alternées. Si $a = 0$, $u_n = O(1/n^2)$, elle converge aussi.
   $$\boxed{\text{La série converge pour tout } (a,b)}$$

5. Comme $\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n} + o(1/n)$ et $\operatorname{acos}(1-h) \sim \sqrt{2h}$ quand $h \to 0^+$ :
   $$u_n \sim \left( \sqrt{\frac{2}{n}} \right)^\alpha = \frac{2^{\alpha/2}}{n^{\alpha/2}}$$
   Par comparaison avec une série de Riemann :
   $$\boxed{\text{Convergence ssi } \alpha > 2}$$

6. $u_n = \exp(n \ln(1 - 1/n^a))$. Si $a > 1$, $n \ln(1 - 1/n^a) \sim -n/n^a = -1/n^{a-1} \to 0$. Alors $u_n \to 1$ : divergence grossière. Si $a = 1$, $u_n \to e^{-1} \neq 0$ : divergence grossière. Si $a < 1$, $n \ln(1 - 1/n^a) \sim -n^{1-a} \to -\infty$. $u_n$ tend vers 0 plus vite que toute puissance de $1/n$ (type exponentiel).
   $$\boxed{\text{Convergence ssi } a < 1}$$

7. On utilise $\tan(\pi/4 + h) = \frac{1+\tan h}{1-\tan h} = 1 + 2h + 2h^2 + o(h^2)$. Ici $h = \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$.
   $$u_n = \frac{2(-1)^n}{n^\alpha} + \frac{2}{n^{2\alpha}} + o\left(\frac{1}{n^{2\alpha}}\right)$$
   Le premier terme est le terme général d'une série convergente. Le deuxième terme impose la convergence de la série de Riemann associée.
   $$\boxed{\text{Convergence ssi } \alpha > 1/2}$$

8. Un DL à l'ordre 2 de l'exponentielle donne :
   $$u_n = \exp\left(n \ln(1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{24n^2} + o(1/n^2))\right) - c = e^{-1/2} \left(1 - \frac{1}{12n} + o(1/n)\right) - c$$
   Pour que $u_n \to 0$, il faut impérativement $c = e^{-1/2}$. Dans ce cas, $u_n \sim -\frac{e^{-1/2}}{12n}$, ce qui correspond à une série divergente.
   $$\boxed{\text{La série diverge pour tout } c}$$

9. Étudions $v_n = (1 + \frac{1}{n+1})^{2n} = \exp(2n \ln(1 + \frac{1}{n+1}))$. Un DL donne $v_n = e^2(1 - \frac{3}{n} + O(1/n^2))$. De même pour $w_n = (1 + \frac{2}{n+a})^n = e^2(1 - \frac{2(a+1)}{n} + O(1/n^2))$. Ainsi $u_n = v_n - w_n = \frac{e^2(2a - 1)}{n} + O(1/n^2)$. La série converge si et seulement si le terme en $1/n$ est nul.
   $$\boxed{\text{Convergence ssi } a = 1/2}$$

10. Comme $\operatorname{acos}(\sqrt{1-x}) = \operatorname{asin}(\sqrt{x}) \sim \sqrt{x}$ pour $x$ petit et positif :
    $$u_n \sim \sqrt{\frac{1}{n^3}} = \frac{1}{n^{3/2}}$$
    $$\boxed{\text{La série converge}}$$