Règles de convergence et paramètres

Résolution.

1. Appliquons le critère de d'Alembert :
   $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{a^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \frac{n^n}{a^n n!} = a \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = a \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-n} \to \frac{a}{e}$$
   La série converge si $a < e$ et diverge si $a > e$. Pour $a=e$, on utilise la formule de Stirling : $n! \sim (n/e)^n \sqrt{2\pi n}$, d'où $u_n \sim \sqrt{2\pi n}$, diverge grossièrement.
   $$\boxed{\text{Convergence ssi } a < e}$$

2. Cas $b > 1$ : Alors $b^n$ domine $2^{\sqrt{n}}$, donc $u_n \sim \frac{a^n 2^{\sqrt{n}}}{b^n} = (a/b)^n 2^{\sqrt{n}}$. Convergence si $a < b$. Si $a=b$, $u_n = \frac{2^{\sqrt{n}}}{2^{\sqrt{n}} + b^n} \to 0$ mais $u_n \sim 2^{\sqrt{n}}/b^n$ qui diverge. Cas $b \leq 1$ : Alors $2^{\sqrt{n}}$ domine $b^n$, donc $u_n \sim a^n$. Convergence si $a < 1$.
   $$\boxed{\text{Convergence si } (b > 1 \text{ et } a < b) \text{ ou } (b \le 1 \text{ et } a < 1)}$$

3. Notons $S_n(\alpha) = \sum_{k=1}^n k^{-\alpha}$. Si $|x| > 1$, $|u_n| \to +\infty$ car $S_n(\alpha)$ croît au plus polynomialement. Si $|x| < 1$, $|u_n| \to 0$ très vite (série géométrique), converge. Si $x = 1$ : - Si $\alpha > 1$, $S_n(\alpha) \to \zeta(\alpha)$, donc $u_n \to 1/\zeta(\alpha)$, diverge grossièrement. - Si $\alpha = 1$, $S_n(1) \sim \ln n$, $u_n \sim 1/\ln n$, diverge. - Si $\alpha < 1$, $S_n(\alpha) \sim \frac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}$, $u_n \sim \frac{1-\alpha}{n^{1-\alpha}}$. Converge ssi $1-\alpha > 1 \iff \alpha < 0$. Si $x = -1$ : Étude similaire avec le critère des séries alternées.
   $$\boxed{\text{Pour } x=1, \text{ convergence ssi } \alpha < 0}$$

4. On utilise $\operatorname{asin}(1-h) = \frac{\pi}{2} - \sqrt{2h} + o(\sqrt{h})$. Ici pour $u_n$ :
   $$\frac{n^2}{a+n^2} = 1 - \frac{a}{n^2} + O(1/n^4) \implies \operatorname{asin} \frac{n^2}{a+n^2} = \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{2a}{n^2}} + o(1/n) = \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{2a}}{n} + o(1/n)$$
   D'où $u_n = \frac{\sqrt{2b} - \sqrt{2a}}{n} + o(1/n)$. La série converge si et seulement si $a=b$.
   $$\boxed{\text{Convergence ssi } a = b}$$

5. Calculons le rapport :
   $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\sqrt{n+1}}{1+\sqrt{n+2}} = \frac{\sqrt{n}(1+1/2n+O(1/n^2))}{\sqrt{n}(\sqrt{1+2/n}+1/\sqrt{n})} = \frac{1+1/2n+O(1/n^2)}{1+1/\sqrt{n}+1/n+O(n^{-3/2})}$$
   $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \frac{1}{\sqrt{n}} + O(1/n)$$
   Comme le rapport tend vers 1 par valeurs inférieures assez lentement (le terme prédominant est $-1/\sqrt{n}$), on peut comparer à une série de Riemann ou utiliser $\ln(u_n)$. $\ln(u_{n+1}) - \ln(u_n) \sim -n^{-1/2}$, donc $\ln(u_n) \sim -\sum k^{-1/2} \sim -2\sqrt{n} \to -\infty$. $u_n \sim e^{-2\sqrt{n}}$, ce qui converge.
   $$\boxed{\text{La série converge}}$$